Igualdad asintótica

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 19 de febrero de 2020; las comprobaciones requieren 8 ediciones .

La igualdad asintótica (equivalencia) en el análisis matemático es una relación de equivalencia entre funciones definidas en alguna vecindad perforada de un punto, lo que significa la igualdad de funciones cerca de este punto con un error relativo arbitrariamente pequeño . Las igualdades asintóticas se utilizan ampliamente en el cálculo de límites. A menudo, las funciones asintóticamente equivalentes se denominan simplemente equivalentes, omitiendo la palabra asintóticamente. También es bastante común el término infinitesimal equivalente, que no es más que un caso especial de equivalencia asintótica para funciones infinitesimales.

Motivación

A menudo se dice que muchas funciones son aproximadamente iguales o se comportan de la misma manera en algún punto. Sin embargo, esta terminología es demasiado vaga, y si realmente queremos hablar sobre el mismo comportamiento de las funciones, esto debe definirse formalmente.

Definamos el siguiente término: diremos que una función se aproxima o se aproxima a una función cerca del punto si, para un número arbitrariamente pequeño, podemos tomar tal vecindad donde estas funciones diferirán en no más que este número. En -idioma: $g(x)$ $f(x)$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon, \ delta}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta):|f(x)-g(x)|<\varepsilon

No es difícil ver que esta definición significa que el límite de la diferencia de funciones es igual a cero a medida que nos acercamos al punto . no es más que el error absoluto de la aproximación de una función por otra función . Al definir una función que se aproxima a un punto, requerimos que el error absoluto se pueda hacer arbitrariamente pequeño. En este caso, el error relativo no será necesariamente pequeño. Un ejemplo sencillo: una función se aproxima a una función en un punto ya que ambos tienen el mismo límite. Sin embargo, el error relativo de esta aproximación en todos los puntos excepto . $x_{0}$ ${\ estilo de visualización | f (x) -g (x) |}$ $f(x)$ $g(x)$ $-X$ $X$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización 200 \%}$

En lugar de la condición de pequeñez del error absoluto, se puede exigir que el error relativo sea pequeño. Las funciones con tal condición se denominan asintóticamente equivalentes [1] . El error relativo (para distinto de cero en alguna vecindad perforada del punto ) de las funciones y se calcula mediante la fórmula . La condición de equivalencia asintótica se formula entonces de la siguiente manera: $f(x)$ $x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)))\right|$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta):\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|<\varepsilon

Obviamente, esto es equivalente a la condición , que se toma con mayor frecuencia como la definición de equivalencia asintótica. $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{f(x)))=1$

Definición

Definición clásica

Sea y esté definido en alguna vecindad perforada del punto ( también puede ser infinito, tanto con signo definido como sin signo) y no igual en alguna vecindad perforada. Las funciones y se llaman asintóticamente iguales si: $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $g(x)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $f(x)$ $g(x)$ $x\a x_{0}$

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Equivalencia de bases

Por supuesto, la igualdad asintótica puede considerarse no solo por la simple tendencia de un argumento a algún valor. Es posible considerar el límite sobre otras bases: cuando el argumento tiende hacia la derecha, desde la izquierda, sobre algún subconjunto, y en general sobre cualquier base. Por lo tanto, tiene sentido definir una equivalencia asintótica para cualquier base . Sea y definido sobre algún elemento de la base y no igual sobre algún elemento de la base. Las funciones y se denominan asintóticamente iguales en base si: [2] ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$

\lim_{\mathfrak {B}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Caso general

El concepto de igualdad asintótica también se puede generalizar al caso en que la condición de desigualdad a cero no se cumple en ningún vecindario. Sea y esté definida sobre algún elemento de la base . Las funciones y se denominan asintóticamente iguales en base si la función se puede representar como , donde [3] . $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) = \ varepsilon (x) g (x)}$ $\lim _{\mathfrak {B}}\varepsilon (x)=1$

A través de o-pequeño

Se puede dar una definición equivalente de igualdad asintótica usando el concepto de o-pequeño. Sea y definido sobre algún elemento de la base y no igual sobre algún elemento de la base. Se dice que las funciones y son asintóticamente iguales en base , si la función se puede representar como , donde es la o pequeña de en base . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) = g (x) + o (f (x))}$ ${\ estilo de visualización o (f (x))}$ $f(x)$ ${\mathfrak {B}}$

A través de lo infinitesimal

Para el caso general, la definición anterior en términos de o-pequeño se puede formular usando el concepto de infinitesimal. Sea y esté definida sobre algún elemento de la base . Las funciones y se denominan asintóticamente iguales en base , si la función se puede representar como , donde es un infinitesimal en base [3] . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) = g (x) + o (1) f (x)}$ $o(1)$ ${\mathfrak {B}}$

La tilde se usa para denotar una igualdad asintótica : . ${\ estilo de visualización f (x) \ sim g (x)}$

Relación de equivalencia

La igualdad asintótica con respecto a alguna base en sentido pleno es una relación de equivalencia sobre el conjunto de funciones definidas sobre algún elemento de la base, es decir, es reflexiva , simétrica y transitiva . Por lo tanto, el conjunto de tales funciones se puede dividir en clases de equivalencia.

Dos funciones cualesquiera que tengan el mismo límite finito distinto de cero son equivalentes entre sí. Por otro lado, la equivalencia de una función de alguna función con un límite finito distinto de cero implica automáticamente la igualdad de su límite. Por lo tanto, el conjunto de funciones con el mismo límite finito distinto de cero forma una clase de equivalencia.

Este no es el caso de las funciones infinitamente pequeñas, infinitamente grandes e ilimitadas. Son estas equivalencias las que interesan. La equivalencia de dos funciones implica la igualdad de sus límites (o su inexistencia), por lo que podemos considerar por separado las clases de equivalencia de funciones infinitamente grandes e infinitamente pequeñas [3] .

Ejemplos

El polinomio at es equivalente a su término distinto de cero con el grado más alto y at con el más bajo. $x\a\infty$ ${\ estilo de visualización x \ a 0}$

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\puntos +a_{1}x+a_{0}\sim a_{n}x^{n }

x\to \infty,a_{n}\neq 0

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{m+1}x^{m+1}+a_{m}x ^{m}\sim a_{m}x^{m}

x\to 0,a_{m}\neq 0

Al calcular límites, muchos libros de texto suelen dar tablas de equivalencia para algunas funciones elementales:

Equivalente infinitesimal en

{\ estilo de visualización x \ a 0}

Característica 1	Característica 2
$\sin x$	$X$
$\nombre del operador {tg}x$	$X$
$\arcsen x$	$X$
$\operatorname{arctg}x$	$X$
$1-\cos x$	${\frac{x^{2}}{2}}$
${\ estilo de visualización e ^ {x} -1}$	$X$
${\ estilo de visualización \ ln (1 + x)}$	$X$
${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {\ alfa} -1}$	${\ estilo de visualización \ alfa x}$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sh} x}$	$X$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {th} x}$	$X$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arsh} x}$	$X$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arth} x}$	$X$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ch} x-1}$	${\frac{x^{2}}{2}}$

Muy famosa es la fórmula de Stirling , que aproxima el factorial por una función continua:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

n\to\infty

Las asintóticas son útiles para estimar cantidades combinatorias con parámetros suficientemente grandes. Por ejemplo, al sustituir la fórmula de Stirling en la fórmula explícita para calcular el coeficiente binomial , se puede obtener que:

{\binom {2n}{n}}\sim {\sqrt {\frac {1}{\pi n}}}2^{2n}

n\to\infty

El número de primos menor que un número dado también tiene una aproximación asintótica simple :

{\ estilo de visualización \ pi (n) \ sim {\ frac {n} {\ ln {n}}}}

en ,

n\to\infty

donde el numero de numeros primos es menor que $\alfiler)$ $norte$

Propiedades

El error relativo tiende a cero. Si para la base , entonces el error relativo para esta base tiende a cero. Esta propiedad conduce en general a la definición de igualdad asintótica. Tenga en cuenta que el error absoluto no tiene que tender a cero. Ejemplo: en , pero su error absoluto es constante e igual a . ${\ estilo de visualización f (x) \ sim g (x)}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\ estilo de visualización x \ sim x + 1}$ $x\a\infty$ $una$
Sustitución por un equivalente en el límite. Si en base , entonces en el sentido de que los límites son iguales o ambos no existen. ${\ estilo de visualización f (x) \ sim g (x)}$ ${\mathfrak {B}}$ $\lim_{\mathfrak {B}}f(x)=\lim_{\mathfrak {B}}g(x)$

Esta propiedad le permite reemplazar la expresión bajo el signo de límite con una equivalente. Es en él que se basa la técnica de cálculo de límites con la ayuda de equivalencias.

Operaciones algebraicas sobre equivalencias. Deje más , sobre la base . Después $f(x)\sim f_{1}(x)$ $g(x)\sim g_{1}(x)$ $m\en \mathbb {N}$ ${\mathfrak {B}}$

f(x)g(x)\sim f_{1}(x)g_{1}(x)

por bases

{\mathfrak {B}}

{\frac {f(x)}{g(x)}}\sim {\frac {f_{1}(x)}{g_{1}(x)))

por bases

{\mathfrak {B}}

{\ estilo de visualización (f (x)) ^ {m} \ sim (f_ {1} (x)) ^ {m))

por bases

{\mathfrak {B}}

Todas las igualdades aquí en el sentido de límites son iguales o ambas no existen. La última propiedad puede generalizarse al caso de un grado fraccionario, sin embargo, dado que los números negativos no pueden elevarse a una potencia no entera, es necesario comprobar primero si las funciones finales estarán definidas sobre algún elemento de la base. Para raíces aritméticas de grado impar, la propiedad se puede aplicar sin comprobaciones adicionales.

Estas propiedades se utilizan ampliamente en la práctica para calcular el límite. Ejemplo:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x(e^{x}-1)}{(\ln(x+1))^{2}\cdot e^{x- 1}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{x^{2}\cdot e^{-1}}}=e

Tenga en cuenta que no existe una propiedad análoga para una suma: la suma de equivalentes no necesita ser equivalente a la suma.

Representación a través de o-small. $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(f(x))=g(x)+f(x)o(1)$

Dado que esta es una definición alternativa de equivalencia, también se puede usar al revés. Por ejemplo: en , porque . Esto nos permite deshacernos de los términos pequeños en las equivalencias. Ejemplo:

{\ estilo de visualización x + \ ln x \ sim x}

x\to +\infty

{\ estilo de visualización \ ln x = o (x)}

\lim_{x\to +\infty}(e^{x}-x^{1}0-lnx)=\lim_{x\to +\infty}e^{x}=+\ infinito

Esta propiedad de reenvío se usa a menudo en combinación con lo siguiente:

o-pequeño es o-pequeño del equivalente. $f(x)\sim g(x)\Rightarrow o(f(x))=o(g(x))$

A pesar de que la suma no se puede reemplazar por otras equivalentes, puede usar las dos últimas propiedades:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x+\ln(x+1)}{e^{x}-1+\operatorname {arctg} {x}}}=\lim _ {x\to 0}{\frac {x+o(\sin x)+x+o(\ln(x+1))}{x+o(e^{x}-1)+o(\nombre del operador {arctg} {x})}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+o(x)}{2x+o(x)}}=\lim _{x\to 0}{ \dfrac {2x+o(1)x}{2x+o(1)x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2+o(1)}{2+o(1)} }={\frac{2}{2}}=1

Si las funciones son equivalentes con respecto a alguna base, entonces son equivalentes con respecto a cualquier base más fuerte . Ejemplo: para , lo que significa que son equivalentes para . ${\ estilo de visualización \ sin x \ sim x}$ ${\ estilo de visualización x \ a 0}$ ${\ estilo de visualización x \ a 0+}$

El teorema de la equivalencia de funciones complejas, como el teorema del límite de una función compleja, tiene una formulación complicada. Formulamos 3 variantes de este teorema:

Equivalencia de funciones complejas.
- Para funciones continuas. Sea para , y sea continua en el punto , . Luego en la base . ${\ estilo de visualización f (x) \ sim g (x)}$ $x\a x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $\lim_{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ ${\ Displaystyle f (h (x)) \ sim g (h (x))}$ ${\mathfrak {B}}$

Sin embargo, la versión del teorema para funciones continuas cubre la mayoría de los ejemplos que se encuentran en la práctica. Por ejemplo: en . Las funciones discontinuas requieren una condición adicional.

\sin {\dfrac {1}{x}}\sim {\dfrac {1}{x}}

x\a\infty

Para funciones discontinuas. Sea para , , sobre algún elemento de la base, en ninguna parte tome el valor . Luego en la base . ${\ estilo de visualización f (x) \ sim g (x)}$ $x\a x_{0}$ $\lim_{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $h(x)$ $x_{0}$ ${\ Displaystyle f (h (x)) \ sim g (h (x))}$ ${\mathfrak {B}}$

Ambas propiedades son consecuencia del teorema general para límites sobre una base arbitraria.

Para una base arbitraria. Sea por , definido en algún elemento base y para cualquier elemento base existe un elemento base tal que . Luego en la base . ${\ estilo de visualización f (x) \ sim g (x)}$ ${\mathfrak{D}}$ $h(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $d$ ${\mathfrak{D}}$ $b$ ${\mathfrak {B}}$ $h(b)\subseteq d$ ${\ Displaystyle f (h (x)) \ sim g (h (x))}$ ${\mathfrak {B}}$

Sea y sea positivo sobre algún elemento de la base. si y solo si . $f(x)$ $g(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) \ sim g (x)}$ ${\ estilo de visualización \ ln {f (x)} = \ ln {g (x)} + o (1)}$
Si , y , entonces . ${\ estilo de visualización f (x) \ sim g (x)}$ $c=\operatorname {const} {}$ ${\ estilo de visualización A (x) = (c + o (1)) ^ {f (x)))$ ${\ estilo de visualización A (x) = (c + o (1)) ^ {g (x)))$
Equivalencia de series . Según el teorema de Stolz , para dos series infinitas:

\sum \limits _{n=0}^{\infty}{a_{n))

y ,

\sum \limits _{n=0}^{\infty}{b_{n))

si y fila:

\forall n:\ b_{n}>0

\sum \limits _{n=0}^{\infty}{b_{n))

diverge, se sigue que:

a_{n}\sim b_{n}

\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}}\sim \sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}}

Ordenar

Similar en significado a la igualdad asintótica, pero menos estricta, es la presencia del mismo orden de funciones . Se dice que las funciones y tienen el mismo orden si . En este caso, se utiliza la notación o . Si estas funciones son infinitamente pequeñas, el orden suele llamarse orden de pequeñez, y si son infinitamente grandes, entonces orden de crecimiento. $f(x)$ $g(x)$ $\existe un,A:\ \existe X:\ \forall x>X:ag(x)\leqslant f(x)\leqslant Ag(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) = \ Theta (g (x))}$ ${\ estilo de visualización f (x) \ en \ Theta (g (x))}$

Al mismo tiempo, la existencia de una constante tal que . Como ejemplo, basta señalar que , ya que , sin embargo, no existe tal constante que . $C$ ${\ estilo de visualización cf (x) \ sim g (x)}$ $x(1+|\sin {x}|)=\Theta (x)$ $x\leqslant x(1+|\sin {x}|)\leqslant 2x$ $C$ $x(1+|\sin {x}|)\sim cx$

Notas

↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 264.
↑ Arkhipov, 2004 , pág. 73.
↑ 1 2 3 enciclopedia de matemáticas .

Literatura

Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. En 3 tomos. Volumen 1 . - M. : Avutarda, 2003. - 704 p. (Ruso)
Arkhipov, G. I. Conferencias sobre análisis matemático: libro de texto. para universidades / G. I. Arkhipov , V. A. Sadovnichiy , V. N. Chubarikov ; edición V. A. Sadovnichy. - 5ª ed., Rev. - M. : Drofa, 2004. - 640 p. — (Libro de texto universitario clásico). — ISBN 5-7107-8900-3 .
Igualdad asintótica . Enciclopedia de Matemáticas . (indefinido)