Aproximación nacida

La aproximación de Born en la teoría de la dispersión se aplica para calcular la dispersión de partículas cuánticas en el primer orden de la teoría de la perturbación .

El criterio de aplicabilidad de la aproximación de Born es, por tanto, el criterio de aplicabilidad de la teoría de perturbaciones. Entonces, para la dispersión de una partícula de masa por un potencial que actúa a distancia , la aproximación es ciertamente aplicable si la energía potencial es mucho menor que la energía de punto cero , es decir . Si no es pequeño en comparación con , entonces la aproximación se vuelve aplicable para una partícula suficientemente rápida, para la cual la frecuencia característica de estar en el campo potencial es mucho mayor que el potencial mismo, es decir cuando , donde es la longitud de onda de De Broglie de la partícula. $metro\$ $V\$ $a\$ $E_{0}\$ $V\ll E_{0}\sim \hbar ^{2}/m(a)^{2}\$ $V\$ $E_{0}\$ $V\ll \hbar v/a\sim E_{0}(a/\lambda )\$ $\lambda\$

Para la sección transversal de dispersión diferencial (sección transversal en el elemento de ángulo sólido ) de una partícula con un cambio en el momento en la aproximación de Born, se obtiene: $d\Omega$ $\hbar {\vec{q}}\$

d\sigma ={\frac {\mu ^{2}}{4\pi ^{2}\hbar ^{4}}}\left|\int V({\vec {r}})e ^{-i{\vec {q}}{\vec {r}}}d^{3}r\right|^{2}d\Omega ,

donde es la masa reducida . $\mu$

Este resultado se obtiene más fácilmente a partir de la probabilidad de transición en el espectro continuo de ondas planas :

w_{{p'p))={\frac {2\pi }{\hbar}}\left|V_{{p'p}}\right|^{2}\delta (E_{{p'}} -E_{p})d\nu _{{p'}}

donde es la densidad de estados finales. Sustituyendo la energía de una partícula libre , calculando el elemento de matriz del potencial en la base de onda plana e integrando sobre el momento del estado disperso (final) , llegamos inmediatamente a la fórmula de Born. $\nu _{{p'}}\$ $E_{p}=p^{2}/(2m)\$ $\psi _{({\vec {p))))({\vec {r)))=e^{{i{\vec {p}}{\vec {r}}/\hbar }}\$ $pags'\$

La amplitud de dispersión en la aproximación de Born es real y tiene la forma:

f=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int V({\vec {r}})e^{-i{\vec {q}}{\ vec{r}}}d^{3}r.

Así, en la aproximación de Born, la amplitud de dispersión es la transformada de Fourier del potencial de dispersión. La realidad de la amplitud de dispersión significa la pequeñez de su argumento, es decir, la fase de dispersión . En la aproximación de Born, las fases de dispersión por un potencial centralmente simétrico en estados con momento angular , tienen la forma: $\hbar {\sqrt {l(l+1)))$

\delta _{l}=-{\frac {\pi m}{\hbar }}\int V(r)(J_{{l+{\frac {1}{2))))(qr))^{ 2}rdr,

donde es la función de Bessel . $J_{{l+{\frac{1}{2}}}}(qr)$

Literatura

Davydov A. S. Mecánica cuántica. — M .: Nauka, 1973. — 704 p.
Prokhorov A. M. (ed.). Enciclopedia Física . - M .: Enciclopedia soviética , 1992. - T. 3. - 672 p. — ISBN 5-85270-034-7 .