Transformada de Fourier

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Transformada de Fourier

Nombre corto/título	PIE
Lleva el nombre de	Fourier, Jean-Baptiste Joseph
Fórmula que describe una ley o un teorema	$\left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t$ [una]
Designación en la fórmula	${\mathcal {F}}f$ , y _ $F$ $\omega$ $\mathrm {e}$
de regreso	transformada inversa de Fourier [d]
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La transformada de Fourier (símbolo ℱ ) es una operación que asigna una función de una variable real a otra función de una variable real. Esta nueva función describe los coeficientes ("amplitudes") al descomponer la función original en componentes elementales - oscilaciones armónicas con diferentes frecuencias

La transformada de Fourier de una función de variable real es integral y viene dada por la siguiente fórmula: $F$

{\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits_{{-\infty }}^{{\infty }}f (x)e^{{-ix\omega }}\,dx.

Diferentes fuentes pueden dar definiciones que difieren de las anteriores al elegir un factor delante de la integral (el llamado factor de normalización , que se refiere a la cuestión de normalizar la transformada de Fourier ), así como el signo "-" en el exponente . Pero independientemente de tales variaciones, todas las propiedades seguirán siendo válidas, aunque la forma de algunas fórmulas puede cambiar.

La fórmula general para todas las variantes de la definición de la transformada de Fourier con parámetros y parece $a$ $b$

{\hat {f))(\omega )={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a))))\int \limits _ {-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ibx\omega}\,dx.

La transformación inversa se define de la siguiente manera

f(x)={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a))))\int \limits _{-\infty }^{ \infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ib\omega x}\,d\omega .

Cuando la elección y o las fórmulas se vuelven especialmente simples, los factores de normalización desaparecen en ellas y las fórmulas difieren solo en el signo del grado, como resultado de lo cual la mayoría de las fórmulas a continuación se simplifican a constantes constantes. $un=0$ ${\ estilo de visualización b = 2 \ pi}$ ${\ estilo de visualización b = -2 \ pi}$

Además, hay varias generalizaciones de este concepto (ver más abajo).

Propiedades

Aunque la fórmula que define la transformada de Fourier tiene un significado claro sólo para funciones de la clase $L_{1}(\matemáticas{R} )$ , la transformada de Fourier se puede definir para una clase más amplia de funciones e incluso funciones generalizadas . Esto es posible debido a una serie de propiedades de la transformada de Fourier:

La transformada de Fourier es un operador lineal :

\widehat {(\alpha f+\beta g)}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.

La igualdad de Parseval es verdadera : si , entonces la transformada de Fourier conserva la -norma: $f\in L_{1}(\mathbb{R} )\cap L_{2}(\mathbb{R} )$ $L_{2}$

\int \limits _{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits_{-\infty}^{\infty}|{{ \sombrero {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .

Esta propiedad permite extender la definición de la transformada de Fourier a todo el espacio por continuidad . La igualdad de Parseval será entonces válida para todos . $L_{2}(\matemáticas{R} )$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Fórmula de tratamiento :

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega ) e^{ix\omega }\,d\omega

es válida si la integral del lado derecho tiene sentido. En particular, esto es cierto si la función es lo suficientemente suave. Si , entonces la fórmula también es verdadera, ya que la igualdad de Parseval permite dar sentido a la integral del lado derecho pasando al límite. $F$ $f\in L_{2}(\mathbb{R} )$

Esta fórmula explica el significado físico de la transformada de Fourier: el lado derecho es la suma (infinita) de oscilaciones armónicas con frecuencias , amplitudes y desfases , respectivamente. $e^{{i\omega x}}$ $\omega$ ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}|{\hat {f}}(\omega )|$ $\arg {\sombrero {f}}(\omega )$

Teorema de convolución : si entonces $f,\;g\en L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f\ast g)}={\sqrt {2\pi }}\widehat {f}\widehat {g}

, dónde

(f\ast g)(t)=\int \limits_{{-\infty }}^{{\infty }}f(ts)g(s)\,ds.

Esta fórmula también se puede extender al caso de funciones generalizadas.

Transformada de Fourier y Diferenciación . si , entonces $f,\;f'\in L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f')}=i\omega \widehat {f}.

A partir de esta fórmula, se deduce fácilmente la fórmula de la -ésima derivada: $norte$

\widehat {(f^{{(n)}})}=(i\omega )^{n}\widehat {f}.

Las fórmulas también son verdaderas en el caso de funciones generalizadas.

Transformada y desplazamiento de Fourier .

{\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega ).

Esta fórmula y la anterior son casos especiales del teorema de convolución, ya que el desplazamiento por argumento es convolución con la función delta desplazada y la diferenciación es convolución con la derivada de la función delta. $\delta (x-x_{0})$

Transformada de Fourier y estiramiento .

{\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).

Fórmula de suma de Poisson :

\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(k)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}}{\hat {f))(n)

Transformada de Fourier de funciones generalizadas . La transformada de Fourier se puede definir para una amplia clase de funciones generalizadas. Primero definamos el espacio de funciones suaves y rápidamente decrecientes ( espacio de Schwartz ):

S({\mathbb R}):=\left\{\varphi \in C^{{\infty }}({\mathbb R}):\forall n,\;m\in \mathbb{N} \; x^{n}\varphi ^{{(m)}}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.

La propiedad clave de este espacio es que es un subespacio invariante con respecto a la transformada de Fourier.

Ahora definamos su espacio dual . Este es un subespacio en el espacio de todas las funciones generalizadas , las llamadas funciones generalizadas de crecimiento lento. Ahora bien, para una función, su transformada de Fourier es una función generalizada que actúa sobre las funciones principales según la regla $S^{*}(\mathbb{R} )$ $f\in S^{*}(\mathbb{R} )$ ${\sombrero {f}}\en S^{*}(\mathbb{R} )$

\langle {\hat {f)),\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi ))\rangle .

Por ejemplo, calculemos la transformada de Fourier de la función delta :

\langle {\hat {\delta )),\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi ))\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1 }{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits_{{-\infty }}^({\infty }}\varphi (x)e^{{-i\omega x}}\, dx\right\rangle ={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi )))),\;\varphi \right\rangle .

Por lo tanto, la transformada de Fourier de la función delta es una constante . ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

El principio de incertidumbre

En términos generales, cuanto mayor sea la concentración f ( x ) , más dispersa debe ser su transformada de Fourier f̂ ( ω ) . En particular, la propiedad de escalado de la transformada de Fourier se puede representar de la siguiente manera: si una función se comprime x veces, entonces su transformada de Fourier se estira ω veces. Es imposible concentrar arbitrariamente tanto una función como su transformada de Fourier.

El trade-off entre la densificación de una función y su transformada de Fourier puede formalizarse como el principio de incertidumbre , considerando la función y su transformada de Fourier como variables conjugadas con respecto a la forma simpléctica tiempo-frecuencia : desde el punto de vista de la linealidad transformación canónica , la transformada de Fourier es una rotación de 90° en el dominio de tiempo-frecuencia y conserva la forma simpléctica.

Supongamos que f ( x ) es una función integrable e integrable al cuadrado . Entonces la norma se expresa como

||f||_{2}=\int \limits _{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}\,dx.

Del teorema de Plancherel se sigue que f̂ ( ω ) también está normalizada.

La dispersión alrededor del valor esperado se puede medir por la varianza , definida como $x_{0}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x|f(x )|^{2}\,dx$

(\Delta f)^{2}={\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits_{-\infty}^{\infty} (x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx.

En términos de probabilidad, este es el segundo momento central de la función . ${\ estilo de visualización | f (x) | ^ {2))$

El principio de incertidumbre establece que si f ( x ) es absolutamente continua y las funciones x f ( x ) y f ′( x ) son integrables al cuadrado, entonces

{\displaystyle (\Delta f)^{2}(\Delta {\hat {f)))^{2}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

donde el factor de normalización antes de la transformada de Fourier es , cuando el factor de normalización es igual, la expresión de la derecha se convierte en . Extrayendo las raíces de ambas expresiones, la expresión de la derecha se convierte en y , respectivamente, determina la mitad del ancho de la ventana ( desviación estándar ). $una$ ${\frac{1}{2\pi ))$ ${\frac{1}{4))$ ${\frac{1}{4\pi }}$ ${\frac{1}{2))$ $\Delta$

La igualdad sólo se logra si

{\begin{alineado}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2)){\sigma ^{2))))\\\ por lo tanto {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\omega ^{2}}\end{alineado}}

donde σ > 0 es arbitrario y por tanto f es L 2 -normalizada. En otras palabras, donde f es una función gaussiana (normalizada) con varianza σ 2 , centrada en cero, y su transformada de Fourier es una función gaussiana con varianza σ -2 . ${\displaystyle C_{1}={\frac {\sqrt[{4}]{2)){\sqrt {\sigma ))))$

De hecho, esta desigualdad implica que:

{\displaystyle \left({\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0} )^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left({\frac {1}{||{\hat {f}}||_{2}^{2} }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\omega )\right|^ {2}\,d\omega \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

para cualquier x 0 , ω 0 ∈ R .

En mecánica cuántica , el momento y la posición de la función de onda son pares de transformadas de Fourier hasta la constante de Planck . Con esta constante debidamente contabilizada, la desigualdad anterior se convierte en un enunciado del principio de incertidumbre de Heisenberg .

Un principio de incertidumbre más fuerte es el principio de incertidumbre de Hirschman , que se expresa como:

H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f))\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac{e}{2}}\right)

donde H ( p ) es la entropía diferencial de la función de densidad de probabilidad p ( x ) :

H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx

donde los logaritmos pueden estar en cualquier base consecutiva. Se consigue la igualdad para la función gaussiana como en el caso anterior.

Aplicaciones

La transformada de Fourier se usa en muchas áreas de la ciencia: en física , teoría de números , combinatoria , procesamiento de señales , teoría de probabilidad , estadística , criptografía , acústica , oceanología , óptica , geometría y muchas otras. En el procesamiento de señales y campos relacionados, la transformada de Fourier suele verse como una descomposición de una señal en frecuencias y amplitudes , es decir, una transición reversible del espacio temporal al espacio de frecuencias . Las amplias posibilidades de aplicación se basan en varias propiedades de transformación útiles:

Las transformaciones son operadores lineales y, con la normalización apropiada, unitarias (una propiedad conocida como teorema de Parseval , o más generalmente como teorema de Plancherel , o más generalmente como dualismo de Pontryagin ).
Las transformaciones son reversibles y la transformación inversa tiene casi la misma forma que la transformación directa.
Las funciones de base sinusoidal (o más bien, exponenciales complejas) son funciones propias de diferenciación , lo que significa que la representación dada convierte las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas ordinarias. (Por ejemplo, en un sistema estacionario lineal, la frecuencia es un valor conservativo , por lo que el comportamiento en cada frecuencia se puede resolver de forma independiente).
Por el teorema de convolución , la transformada de Fourier convierte una operación de convolución compleja en una multiplicación simple , lo que significa que proporcionan una forma eficiente de calcular operaciones basadas en convolución, como la multiplicación de polinomios y la multiplicación de números grandes .
La versión discreta de la transformada de Fourier se puede calcular rápidamente en computadoras utilizando el algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT).

Variedades

Transformación multidimensional

La transformada de Fourier de funciones dadas en el espacio se define mediante la fórmula $\mathbb{R} ^{n}$

{\sombrero {f))(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits_{{\mathbb{R} ^{n} }}f(x)e^{{-ix\cdot \omega }}\,dx.

Aquí y son vectores espaciales , es su producto escalar . La transformación inversa en este caso viene dada por la fórmula $\omega$ $X$ $\mathbb{R} ^{n}$ $x\cdot\omega$

f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _({\mathbb{R} ^{n))}{\hat {f }}(\omega )e^{{ix\cdot \omega }}\,d\omega .

Esta fórmula se puede interpretar como la expansión de la función en una combinación lineal ( superposición ) de la forma " ondas planas " con amplitudes , frecuencias y cambios de fase , respectivamente. Como antes, en diferentes fuentes las definiciones de la transformada de Fourier multidimensional pueden diferir en la elección de una constante frente a la integral. $F$ $e^{{ix\cdot\omega}}$ ${\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))|{\hat {f))(\omega )|$ $\omega$ $\arg {\sombrero {f}}(\omega )$

La observación sobre el dominio de especificación de la transformada de Fourier y sus principales propiedades siguen siendo válidas también en el caso multidimensional, con las siguientes aclaraciones:

Tomar derivadas parciales bajo la acción de la transformada de Fourier se convierte en multiplicación por la coordenada del mismo nombre:

\widehat {{\frac {\parcial f}{\parcial x_{k))))=i\omega _{k}{\hat {f))(\omega ).

La constante en el teorema de convolución cambia:

\widehat {(f\ast g)}=(2\pi )^{{n/2}}{\hat {f}}{\hat {g}}.

Transformada de Fourier y compresión de coordenadas:

\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a| ).

Más generalmente, si es un mapa lineal invertible , entonces ${\displaystyle A\dos puntos \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

{\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{- 1} \ omega ).

Serie de Fourier

La transformación continua en sí misma es, de hecho, una generalización de la idea anterior de las series de Fourier , que se definen para funciones periódicas y representan la expansión de tales funciones en una combinación lineal (infinita) de oscilaciones armónicas con frecuencias enteras : $2\pi$

f(x)=\sum_{{n=-\infty}}^({\infty}}{\hat {f}}_{n}\,e^{{inx}}.

La expansión de la serie de Fourier también es aplicable a funciones definidas en intervalos acotados, ya que tales funciones pueden extenderse periódicamente a toda la línea.

La serie de Fourier es un caso especial de la transformada de Fourier, si esta última se entiende en el sentido de funciones generalizadas . Para cualquier función periódica tenemos $2\pi$

{\sombrero {f}}(\omega)={\sqrt {2\pi}}\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}{\hat {f}}_{n }\delta (\omega-n).

En otras palabras, la transformada de Fourier de una función periódica es la suma de las cargas puntuales en puntos enteros y es cero fuera de ellos.

Conversión discreta

La transformada discreta de Fourier es una transformación de secuencias finitas de números (complejos), que, como en el caso continuo, convierte la convolución en una multiplicación puntual. Se utiliza en el procesamiento de señales digitales y otras situaciones en las que necesita realizar una convolución rápidamente, como cuando se multiplican números grandes.

Sea una secuencia de números complejos. Consideremos un polinomio . Elijamos algunos puntos en el plano complejo . Ahora podemos asociar un nuevo conjunto de números con un polinomio: . Tenga en cuenta que esta transformación es reversible: para cualquier conjunto de números, existe un único polinomio de grado como máximo con tales valores en respectivamente (ver interpolación ). $x_{0},\;x_{1},\;\ldots,\;x_{{n-1}}$ $f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{{n-1}}t^{{n-1}}$ $norte$ $z_{0},\;z_{1},\;\ldots,\;z_{{n-1}}$ $pie)$ $norte$ $f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{{n-1}}:=f(z_ {{n-1}})$ $f_{0},\;f_{1},\;\ldots,\;f_{{n-1}}$ $pie)$ $n-1$ $z_{0},\;\ldots,\;z_{{n-1}}$

El conjunto y se denomina transformada discreta de Fourier del conjunto original . Las raíces th de la unidad generalmente se eligen como puntos : $\{f_{k}\}$ $\{x_{k}\}$ $z_{k}$ $norte$

z_{k}=e^{{\frac {2\pi ik}{n))}

Esta elección está dictada por el hecho de que en este caso la transformada inversa toma una forma simple, y también por el hecho de que el cálculo de la transformada de Fourier se puede realizar de forma especialmente rápida . Por lo tanto, si bien el cálculo de la convolución de dos secuencias de longitud requiere directamente un orden de operaciones, se puede realizar en las operaciones ir a su transformada de Fourier y regresar usando un algoritmo rápido . Para las transformadas de Fourier, la convolución corresponde a la multiplicación por componentes, que requiere solo el orden de las operaciones. $norte$ $n^{2}$ $O(n\log n)$ $norte$

Ventanas

F(t,\;\omega )=\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{{-i\omega \tau } }\,d\tau ,

donde da la distribución de frecuencias (generalmente, algo distorsionada) de la parte de la señal original en la vecindad del tiempo . $F(t,\;\omega )$ $pie)$ $t$

La transformada de Fourier clásica se ocupa del espectro de una señal que abarca todo el rango de existencia de una variable. A menudo, solo interesa la distribución de frecuencia local, mientras que se requiere mantener la variable original (generalmente el tiempo). En este caso, se utiliza una generalización de la transformada de Fourier, la llamada transformada de Fourier en ventana . Para empezar, es necesario elegir alguna función de ventana , y esta función debe tener un espectro bien localizado. $W$

En la práctica, el análisis espectral discreto se implementa en osciloscopios digitales y analizadores de espectro modernos . Se usa, como regla, la elección de la ventana de 3-10 tipos. El uso de ventanas es fundamentalmente necesario, ya que en los dispositivos reales siempre se investiga un determinado corte de la señal en estudio. En este caso, las discontinuidades de la señal debidas a la muesca distorsionan fuertemente el espectro debido a la superposición de los espectros de salto en el espectro de la señal.

Algunos analizadores de espectro utilizan ventanas rápidas (o de tiempo breve). Con él, una señal de una duración determinada se divide en una serie de intervalos mediante una ventana deslizante de un tipo u otro. Esto permite obtener, investigar y construir espectros dinámicos en forma de espectrogramas y analizar su comportamiento en el tiempo. El espectrograma se construye en tres coordenadas: frecuencia, tiempo y amplitud. En este caso, la amplitud la establece el color o la tonalidad del color de cada rectángulo del espectrograma. Dichos analizadores de espectro se denominan analizadores de espectro en tiempo real . Su principal fabricante es Keysight Technologies Corporation ( EE . UU .), Rohde & Schwarz (Alemania), Tektronix (EE. UU.). Dichos analizadores aparecieron a fines del siglo pasado y ahora se están desarrollando rápidamente. El rango de frecuencia de las señales que estudian alcanza cientos de gigahercios.

Estos métodos de análisis espectral también se implementan en sistemas matemáticos informáticos, por ejemplo, Mathcad , Mathematica , Maple y MATLAB .

Otras opciones

La transformada de Fourier discreta es un caso especial (y a veces se usa como una aproximación) de la transformada de Fourier discreta en el tiempo (DTFT), que se define en dominios discretos pero infinitos y, por lo tanto, el espectro es continuo y periódico. La transformada de Fourier discreta en el tiempo es esencialmente la inversa de la serie de Fourier. $x_k$

Estas variedades de la transformada de Fourier se pueden generalizar a las transformadas de Fourier de grupos topológicos abelianos localmente compactos arbitrarios , que se estudian en análisis armónico; transforman un grupo en su grupo dual . Esta interpretación también nos permite formular el teorema de la convolución , que establece una conexión entre las transformadas de Fourier y las convoluciones . Véase también el dualismo de Pontryagin .

Interpretación en términos de tiempo y frecuencia

En términos de procesamiento de señales , la transformada toma una representación de serie de tiempo de una función de señal y la mapea en un espectro de frecuencia , donde es la frecuencia de esquina . Es decir, convierte una función del tiempo en función de la frecuencia ; es la descomposición de una función en componentes armónicos a diferentes frecuencias. $\omega$

Cuando la función es una función del tiempo y representa una señal física , la transformada tiene una interpretación estándar como el espectro de la señal. El valor absoluto de la función compleja resultante representa las amplitudes de las frecuencias correspondientes ( ), mientras que los desfases se obtienen como argumento de esta función compleja. $F$ $F$ $\omega$

Sin embargo, las transformadas de Fourier no se limitan a funciones de tiempo y frecuencias temporales. Se pueden aplicar por igual al análisis de frecuencias espaciales , así como a casi cualquier otra función.

Fórmulas importantes

La siguiente tabla contiene una lista de fórmulas importantes para la transformada de Fourier. y denotan las componentes de Fourier de las funciones y , respectivamente. y deben ser funciones integrables o funciones generalizadas . $F(\omega)$ $G(\omega)$ $pie)$ $g(t)$ $F$ $gramo$

Las proporciones de esta tabla, y en particular factores como , dependen de la convención de qué forma de definición para la transformada de Fourier se haya utilizado antes (aunque, en general, las proporciones son, por supuesto, correctas). ${\ sqrt {2\pi }}$

	Función	Imagen	notas
una	${\ estilo de visualización af (t) + bg (t)}$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	linealidad
2	${\ estilo de visualización f (ta)}$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Retraso
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega-a)$	cambio de frecuencia
cuatro	$grasa)$	$\|a\|^{{-1}}F\izquierda({\frac {\omega {a}}\derecha)$	Si es grande, entonces se concentra cerca de cero y se vuelve plano . $a$ $grasa)$ $\|a\|^{{-1}}F\izquierda({\frac {\omega {a}}\derecha)$
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n))))$	$(i\omega )^{n}F(\omega )$	Propiedad de la transformada de Fourier de la ésima derivada $norte$
6	${\ estilo de visualización t ^ {n} f (t)}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n))))$	Esta es una inversión de la regla 5
7	${\ estilo de visualización (f * g) (t)}$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )$	Registro significa convolución y . Esta regla es el teorema de convolución. $f*g$ $F$ $gramo$
ocho	${\ estilo de visualización f (t) g (t)}$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi ))))$	este llamamiento 7
9	$\ delta (t)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$	$\ delta (t)$ significa la función delta de Dirac
diez	$una$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {2 \ pi}} \ delta (\ omega)}$	apelación 9.
once	$t^{n}$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	Aquí hay un número natural , es la derivada generalizada de la función delta de Dirac. Consecuencia de las reglas 6 y 10. Su uso junto con la regla 1 te permite hacer transformaciones de cualquier polinomio $norte$ $\delta ^{{(n)}}(\omega)$ $norte$
12	${\ Displaystyle e ^ {iat}}$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega-a)$	Corolario 3 y 10
13	${\ estilo de visualización \ cos (en)}$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	Corolario 1 y 12 usando la fórmula de Euler $\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)$
catorce	${\ estilo de visualización \ sin (en)}$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	También del 1 al 12
quince	${\ estilo de visualización \ exp (-en ^ {2})}$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)$	Indica que la función gaussiana coincide con su imagen $\exp(-t^{2}/2)$
dieciséis	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega}{2W}}\right)$	La función rectangular es un filtro de paso bajo ideal y la función sinc (x) es su equivalente temporal
17	${\frac{1}{t))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	Aquí está la función sgn . Esta regla es consistente con 6 y 10 ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sgn} (\ omega)}$
Dieciocho	${\ Displaystyle {\ frac {1} {t^ {n}}}}$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn }(\omega)$	Generalización 17
19	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sgn} (t)}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}$	Apelación 17
veinte	${\ estilo de visualización {\ sqrt {2 \ pi}} \ theta (t)}$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )$	Aquí está la función de Heaviside . Se sigue de las reglas 1 y 19 $\ theta (t)$

Véase también

Literatura

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Dyakonov V.P. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Procesamiento de señales y diseño de filtros. - M. : SOLON-Prensa, 2005. - S. 576. - ISBN 5-980-03206-1 .
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Enlaces

Transformadas integrales Archivado el 11 de julio de 2007 en Wayback Machine EqWorld: The World of Mathematical Equations
Cálculo en línea de la transformada o transformada inversa
"Transformada de Fourier" Archivado el 4 de julio de 2015 en Wayback Machine : una guía interactiva de la transformada de Fourier | BetterExplained Archivado el 4 de julio de 2015 en Wayback Machine .
Ronald N. Bracewell . Transformada de Fourier. Científico americano. En el mundo de la ciencia. No. 8, 1989, págs. 48-56 Archivado el 24 de mayo de 2017 en Wayback Machine .

Transformaciones integrales
transformada abel Transformaciones de Bessel Transformación bosquimana Transformación de Gegenbauer Transformada de Hilbert Transformación de Kontorovich-Lebedev Transformada de Laplace Transformada de Meyer Transformación de Mehler-Fock Transformada de Mellin Transformada de Nerain Transformación de radón Transformación de Stieltjes Transformada de Fourier Transformada de Hankel Transformada de Hartley

métodos de compresión

Teoría

Información	Propio Mutual entropía Entropía condicional Complejidad Redundancia
Unidades	Un poco natural Picar Hartley Fórmula Hartley

sin pérdidas

Compresión de entropía	Sistemas numéricos asimétricos Algoritmo de Huffman Algoritmo de Huffman adaptativo Algoritmo de Shannon-Fano Algoritmo de Shannon Codificación aritmética ( intervalo ) Códigos Golomb Delta código universal Elías fibonacci
Métodos de diccionario	RLE Desinflar LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zestándar )
Otro	RLE CTW BWT MTF ppm DMC

Audio

Teoría	Circunvolución PCM alias Muestreo Teorema de Kotelnikov
Métodos	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP Una ley ley μ ADPCM MDCT Transformada de Fourier modelo psicoacústico
Otro	Compresor de sonido Compresión de voz Codificación de banda

Imágenes

Términos	espacio de color píxel Submuestreo de saturación Artefactos de compresión
Métodos	RLE DPCM fractales ondícula EZW ALCOHOL LP Deberes PCL
Otro	tasa de bits Imagen de prueba estándar PSNR cuantización

Video

Términos	Características del vídeo Cuadro Tipos de cuadros Calidad de video
Métodos	Compensación de movimiento Deberes cuantización ondícula
Otro	Códec de vídeo Tasa de teoría de la distorsión CBR ABR VBR

Derivados de la letra latina F, f
Letras	Ḟḟ F̣f̣ Ƒƒ ᶂ ff F̀f̀ F̄f̄ F̧f̧ ꜰ Ꞙꞙ ꟻ ꬵ Ⅎⅎ ʩ 𝼀 Ꝼꝼ
simbolos	ƒ ₣ °F ℱ 𝔽 🜅 𝄢 𝇑 𝆑 Ⓕⓕ ⒡

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En catálogos bibliográficos	BNF : 119793260 J9U : 987007548250405171 LCCN : sh85051094 NDL : 00562090 NKC : ph117565

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