Matriz de pesos

En matemáticas , una matriz de orden ponderada con un peso es una matriz tal que , donde es la transpuesta de la matriz , y es la matriz identidad de orden . Una matriz de ponderación también se denomina esquema de ponderación . $W$ $norte$ $w$ $n\veces n$ ${\ estilo de visualización (0,1, -1)}$ $WW^{T}=wi_{n}$ ${\ estilo de visualización W^{T}}$ $W$ $En}$ $norte$

Por conveniencia, la matriz de peso de orden y peso a menudo se denota como . $norte$ $w$ ${\ estilo de visualización W (n, w)}$

${\ estilo de visualización W (n, n-1)}$ es equivalente a la matriz de conferencia , y es equivalente a la matriz de Hadamard . ${\ estilo de visualización W (n, n)}$

Propiedades

Algunas propiedades se derivan directamente de la definición:

Las filas de la matriz de pesos son ortogonales por pares. Lo mismo para las columnas.
Cada fila y cada columna contiene exactamente elementos no nulos. $w$
$W^{T}W=wI$ , ya que se sigue de la definición (se supone que el peso no es igual a 0). ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{T))$
$\mathrm {det} (W)=\pm w^{n/2}$ , donde es el determinante de la matriz . $det(W)$ $W$

Dos matrices de pesos se consideran equivalentes si una puede obtenerse de la otra mediante una serie de permutaciones y multiplicaciones de filas y columnas de la matriz original por menos uno. Las matrices de ponderación están completamente clasificadas para los casos cuando , así como para todos los casos cuando . [1] . Excepto por esto, se sabe muy poco sobre la clasificación de las matrices de peso circulante . ${\ estilo de visualización w \ leq 5}$ ${\ estilo de visualización n \ leq 15}$

Ejemplos

Tenga en cuenta que cuando se muestran matrices de peso, se utiliza el símbolo de −1. $-$

Pongamos dos ejemplos: es una matriz de pesos (matriz de Hadamard), y es una matriz de pesos. $W_2$ ${\ estilo de visualización W (2,2)}$ ${\ estilo de visualización W_ {7))$ ${\ estilo de visualización W (7,4)}$

$W_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}$
$W_{7}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&- &-&1&0\end{matrix}}$

Preguntas abiertas

Hay muchas preguntas abiertas sobre las matrices de peso. El principal de ellos es su existencia: ¿para qué números n y w existe W ( n , w )? Mucho en este asunto sigue siendo desconocido. Una pregunta igualmente importante pero a menudo inexplorada es cómo contarlos: dados n y w , ¿cuántas matrices W ( n , w ) existen? Más profundamente, uno podría preguntarse acerca de la clasificación en términos de estructura, pero hoy en día esto está mucho más allá de nuestras capacidades, incluso para matrices de Hadamard o matrices de conferencia.

Enlaces

Sobre el problema del pesaje de Hotelling , Alexander M. Mood, Ann. Matemáticas. estadístico. Volumen 17, Número 4 (1946), 432-446.

Notas

↑ M. Harada, A. Munemasa, Sobre la clasificación de matrices de pesaje y códigos autoortogonales, 2011, http://arxiv.org/abs/1011.5382 Archivado el 21 de enero de 2022 en Wayback Machine .