Pendiente hawaiano

El pendiente hawaiano es un espacio topológico correspondiente a la unión de círculos en el plano euclidiano con centros en puntos y radios (para todos los números enteros positivos ). El espacio es homeomorfo a la compactación en un punto de una unión contable de intervalos abiertos ( ). $H$ $\matemáticas {R} ^{2}$ ${\ estilo de visualización (1/n, 0)}$ $1/n$ $norte$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {N}$

El pendiente hawaiano es compacto y puede equiparse con un calibre completo . Es un camino conectado pero no semi- localmente simplemente conectado .

El arete hawaiano, a primera vista, parece un ramo de un número contable de círculos, pero no son espacios topológicos homeomorfos . La topología del pendiente hawaiano es más débil : cualquier vecindad del punto de intersección de los círculos contiene todos menos un número finito de círculos, mientras que para un ramo hay vecindades que no contienen ningún círculo. Además, un ramo de un número contable de círculos no es compacto.

Grupo fundamental

El pendiente hawaiano no está simplemente conectado , ya que el lazo que parametriza cualquiera de sus círculos no es homotópico al trivial. Por lo tanto, tiene un grupo fundamental no trivial . $GRAMO$

Hay un mapeo continuo de un ramo de muchos círculos contables en , induce una incrustación del grupo fundamental del ramo ( un grupo libre con muchos generadores contables) en . El grupo también contiene otros elementos: clases de homotopía de bucles que no están contenidos en ningún subconjunto finito de los círculos del pendiente hawaiano; un ejemplo es un bucle que "enrolla" un segmento alrededor del círculo. $H$ $GRAMO$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización [2^{-n},2^{-(n-1)}]}$ $norte$

Además, se incrusta en el límite proyectivo de grupos libres (mapeos de conexión desde para llevar el último generador a la identidad del grupo). Sin embargo, este mapeo no es sobreyectivo ; su imagen contiene exactamente aquellos elementos del límite inverso en los que cada uno de los generadores se presenta un número finito de veces. Un ejemplo de un elemento que no se encuentra en la imagen de este mapeo es un conmutador infinito . $GRAMO$ $F_{n}$ $F_{n}$ $F_{{n-1}}$ ${\ estilo de visualización [\ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}] [\ gamma _ {1}, \ gamma _ {3}] \ ldots}$

El grupo es incontable y no es gratuito. Aunque su abelización no tiene una descripción simple, existe un subgrupo normal en , tal que es isomorfo al grupo de Baer-Specker . Se llama abelización infinita o abelización fuerte , ya que consiste exactamente en esos elementos, cada una de cuyas coordenadas (si piensas en un subgrupo del límite proyectivo ) se encuentra en el subgrupo conmutador del grupo libre correspondiente . En cierto sentido, se puede hablar del cierre del conmutador . $GRAMO$ $GRAMO$ $norte$ ${\ estilo de visualización G/N}$ $\prod_{i=0}^{\infty}\mathbb {Z}$ $GRAMO$ $norte$ $GRAMO$ $norte$ $GRAMO$

Espacios patológicos relacionados

El cono sobre el pendiente hawaiano da un ejemplo de un espacio simplemente conectado (en particular, semilocalmente conectado) pero no localmente conectado.
- Un espacio pegado a partir de dos copias de dicho cono en un punto, en base al cual los anillos del arete se tocan entre sí, da un ejemplo de un espacio con una cubierta universal no simplemente conectada, lo cual es trivial.

Literatura

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