Grupo hiperbólico
Un grupo hiperbólico es un grupo generado finitamente cuyo gráfico de Cayley , como espacio métrico, es hiperbólico de Gromov .
Definición
En un grupo generado finitamente con generadores elegidos, hay una métrica natural - métrica de diccionario . Un conjunto se denomina hiperbólico si, dotado de esta métrica, resulta hiperbólico como espacio métrico. Dado que cuando se reemplaza el sistema de generadores elegido, la métrica cambia cuasi-isométricamente , mientras que se conserva la hiperbolicidad del espacio métrico, el concepto resulta ser independiente de la elección del sistema de generadores.
Ejemplos
- Dado que la hiperbolicidad es, en cierto sentido, la "similitud" de las propiedades de un espacio métrico con un árbol, un grupo libre ( cuya gráfica de Cayley es un árbol) con cualquier número finito de generadores es hiperbólico.
- El grupo PSL(2,Z) es hiperbólico.
- Un grupo finito es hiperbólico.
- Un grupo abeliano libre con dos generadores no es hiperbólico.
- El grupo Baumslag-Solitaire B ( m , n ), así como cualquier grupo que contenga B ( m , n ) como subgrupo, no es hiperbólico.
Propiedades
- La hiperbolicidad se conserva al pasar a un subgrupo de índice finito.
- Cualquier grupo hiperbólico se presenta de forma finita : está dado por un número finito de generadores y un número finito de relaciones. (Como consecuencia, los grupos hiperbólicos, a diferencia de todos los grupos en general, son solo contablemente numerosos).
- La hiperbolicidad es equivalente a una desigualdad isoperimétrica lineal : una palabra trivial, escrita como un producto de N generadores, se representa como un producto de CN conjugados a las relaciones básicas (con cierto control sobre la longitud de los productos conjugados).
Notas
- ↑ Bridson, Haefliger, 1999 , Capítulo III.Γ, Corolario 3.10.
- ↑ Ghys, de la Harpe, 1990 , cap. 8, jue. 37.
Literatura
- P. de la Harp, E. Gies, Grupos hiperbólicos según Mikhail Gromov
- Bridson, Martin R. Espacios métricos de curvatura no positiva / Martin R. Bridson, André Haefliger . - Berlín: Springer-Verlag, 1999. - vol. 319. - ISBN 3-540-64324-9 . -doi : 10.1007/ 978-3-662-12494-9.
- Mikhail Gromov, Grupos hiperbólicos. Ensayos en teoría de grupos, 75-263, Matemáticas. ciencia Res. Inst. Publ., 8, Springer, Nueva York, 1987.
- Rips, E. Sela, Z. Representantes canónicos y ecuaciones en grupos hiperbólicos. inventario. Matemáticas. 120 (1995), núm. 3, 489-512.
- Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov: [ fr. ] . - Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., 1990. - Vol. 83.- ISBN 0-8176-3508-4 . -doi : 10.1007 / 978-1-4684-9167-8 .