Superficie hiperelíptica

Una superficie hiperelíptica o bielíptica es una superficie cuyo morfismo albanés es un haz elíptico . Cualquier superficie de este tipo se puede escribir como el cociente del producto de dos curvas elípticas con respecto a un grupo abeliano finito . Las superficies hiperelípticas forman una de las clases con dimensión Kodaira 0 en la clasificación de Enriques-Kodaira .

Invariantes

La dimensión de Kodaira es 0.

Rombo Hodge:

		una
	una		una
0		2		0
	una		una
		una

Clasificación

Cualquier superficie hiperelíptica es un factor , donde , F son curvas elípticas y G es un subgrupo del grupo F ( que actúa sobre F por transferencias). Hay siete familias de superficies hiperelípticas. ${\ estilo de visualización (E {\ veces} F) / G}$ $E=\mathbf {C} /\Lambda$

Orden K	$\lambda$	GRAMO	Acción de G sobre E
2	Ningún	$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -e$
2	Ningún	$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -e,e\rightarrow e+c,-c=c$
3	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\rightarrow \omega e$
3	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\rightarrow \omega e,e\rightarrow e+c,{\omega }c=c$
cuatro	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf {Z} /\mathbf {Z}$	${\ estilo de visualización e \ flecha derecha, es decir}$
cuatro	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow es decir,e\rightarrow e+c,ic=c$
6	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /6\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -{\omega }e$

Aquí está la raíz cúbica primitiva de 1 y yo es la cuarta raíz primitiva de 1. $\omega$

Espacios cuasihiperelípticos

Un espacio cuasi-hiperelíptico es una superficie cuyo divisor canónico es numéricamente equivalente a cero, cuyo mapa albanés se corresponde con una curva elíptica, y todas sus fibras son curvas cúspides racionales . Solo existen en las características 2 o 3. Su segundo número de Betti es 2, su segundo número de Chern es cero, al igual que la característica holomorfa de Euler . La clasificación fue realizada por Bombieri y Mumford [1] , quienes encontraron seis casos en la característica 3 (en este caso 6 K = 0) y ocho casos en la característica 2 (en este caso 6 K igual a cero o 4 K ). Cualquier superficie cuasi elíptica es un factor , donde E es una curva racional con una cúspide, F es una curva elíptica y G es un subesquema de grupo finito del grupo F (que actúa sobre F por transferencias). ${\ estilo de visualización (EF)/G}$

Notas

↑ Bombieri, Mumford, 1976 .

Literatura

Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Superficies Complejas Compactas. - Springer-Verlag, Berlín, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Arnaud Beauville . Superficies algebraicas complejas. — 2do. - Cambridge University Press , 1996. - V. 34. - (Textos para estudiantes de la London Mathematical Society). - ISBN 978-0-521-49510-3 .
Clasificación de Enriques de superficies en char. pags. tercero // Invenciones Mathematicae . - 1976. - T. 35 . — P. 197–232 . — ISSN 0020-9910 . -doi : 10.1007/ BF01390138 .
Análisis complejo y geometría algebraica. - Tokio, 1977. - S. 23-42 .