Clasificación Enriques-Kodiry

La clasificación de Enriques-Kodiira es una clasificación de superficies complejas compactas en diez clases. Para cada una de estas clases, las superficies de estas clases pueden ser parametrizadas por el espacio de módulos . Para la mayoría de las clases, los espacios de módulos están bien desarrollados, pero para una clase de superficies de tipo general, los espacios de módulos son demasiado complicados para describirlos explícitamente, aunque se conocen algunos componentes.

Max Noeter comenzó el estudio sistemático de las superficies algebraicas y Guido Castelnuovo probó partes importantes de la clasificación. Enriques [1] [2] describió la clasificación de superficies proyectivas complejas. Kodaira [3] [4] [5] [6] luego amplió la clasificación para incluir superficies compactas no algebraicas.

Una clasificación similar de superficies con característica p > 0 fue iniciada por Mumford [7] y completada por Bombieri y Mumford [8] [9] . La clasificación es similar al caso de las superficies proyectivas en la característica 0, excepto que también obtenemos superficies de Enriques singulares y supersingulares en la característica 2 y superficies cuasi-hiperelípticas en las características 2 y 3.

Aprobación de clasificación

La clasificación de Enriques-Kodaira de superficies complejas compactas establece que cualquier superficie compleja compacta mínima no singular pertenece exactamente a uno de los 10 tipos enumerados en esta página. Es decir, es una de las superficies racionales, regladas (de género >0), tipo VII, K3, Enriques, Kodaira, tóricas, hiperbólicas, cuasi elípticas propias o de tipo general.

Para 9 clases de superficies distintas del tipo general, hay una descripción bastante completa de cómo se ven todas las superficies (que para la clase VII depende de la conjetura de la capa esférica global , que sigue sin probarse). Para superficies de tipo general, no se sabe mucho sobre su clasificación explícita, aunque se han encontrado muchos ejemplos.

La clasificación de superficies algebraicas en característica positiva [7] [8] [9] es similar a la clasificación de superficies algebraicas en característica 0, excepto que no hay superficies Kodaira o tipo VII, sino algunas familias adicionales de superficies de Enriques en característica 2 y superficies hiperelípticas en las características 2 y 3. Además, para Kodaira dimensión 1 en las características 2 y 3, se permite un haz cuasi elíptico. Estas familias adicionales se pueden entender de la siguiente manera: en la característica 0 estas superficies son factores de superficies por grupos finitos, pero en la característica finita también se pueden tomar factores por esquemas de grupos finitos que no son étales .

Oskar Zariski construyó varias superficies en característica positiva que son uniracionales pero no racionales, las cuales se obtienen a partir de extensiones inseparables ( superficies Zariski ). Para una caracterización positiva, Serre mostró que puede diferir de , e Igusa mostró que aunque coincidan, pueden ser mayores que la irregularidad (la dimensión de la variedad de Picard ). $h^{0}(\Omega)$ ${\ estilo de visualización h ^ {1} (O)}$

Invariantes de superficie

Números de Hodge y dimensión de Kodaira

La mayoría de las invariantes importantes de las superficies complejas compactas utilizadas en la clasificación se pueden dar en términos de las dimensiones de los diversos grupos de cohomología de las poleas coherentes . Los principales son los plurirods y los números de Hodge definidos de la siguiente manera:

K es el conjunto de líneas canónicas cuyas secciones son 2 formas holomorfas.
$P_{n}=\mathrm {dim} \,H^{0}(K^{n})$ para n ≥ 1, los plurigens . Son invariantes birracionales , es decir, invariantes bajo explosiones . Usando la teoría de Seiberg-Witten, Friedman y Morgan demostraron que para las variedades complejas, los plurigenos dependen solo de las 4-variedades suaves orientadas subyacentes. Para las superficies que no son de Kähler, los plurígenos están determinados por el grupo fundamental, pero para las superficies de Kähler , hay ejemplos de superficies homeomorfas que tienen diferentes plurígenos y dimensiones de Kodaira. Los plurirods no suelen usarse individualmente, lo más importante de ellos es su tasa de crecimiento, medida por la dimensión de Kodaira .
κ es la dimensión de Kodaira . Es (a veces escrito −1) si todos los plurigenos son 0, de lo contrario, es el número más pequeño (0, 1 o 2 para superficies) tal que está acotado. Enriques no utilizó esta definición, sino los valores y . Definen la dimensión de Kodaira, ya que la dimensión de Kodaira coincide , coincide , coincide y , mientras coincide y . $-\infty$ ${\displaystyle P_{n}/n^{\kappa ))$ $P_{12}$ $KK=c_{1}^{2}$ $\kappa=-\infty$ ${\ estilo de visualización P_ {12} = 0}$ ${\ estilo de visualización \ kappa = 0}$ ${\ estilo de visualización P_ {12} = 1}$ ${\ estilo de visualización \ kappa = 1}$ $P_{12}>1$ ${\ Displaystyle KK = 0}$ ${\ estilo de visualización \ kappa = 2}$ $P_{12}>1$ $KK>0$
$h^{i,j}=\mathrm {dim} \,H^{j}(X,\Omega ^{i})$ (donde está el haz de formas i holomorfas ) son los números de Hodge , a menudo dispuestos en forma de diamante de Hodge ${\ Displaystyle \ Omega ^ {i}}$

		hora 0.0
	hora 1.0		hora 0,1
hora 2.0		hora 1.1		h 0,2
	hora 2.1		hora 1.2
		hora 2.2

Por la dualidad de Serre, h i, j = h 2− i ,2− j , y h 0,0 = h 2,2 = 1. Si la superficie es Kähler , entonces h i, j = h j, i , entonces hay son solo 3 números de Hodge independientes. Para superficies complejas compactas, h 1,0 es h 0,1 o h 0,1 − 1. El primer plurigeno P 1 es igual a los números de Hodge h 2,0 = h 0,2 y, a veces, se le llama género geométrico. Los números de Hodge de una superficie compleja dependen únicamente del anillo de cohomología real orientada de la superficie y son invariantes bajo transformaciones birracionales, excepto h 1,1 , que aumenta en 1 cuando se explota un punto.

Invariantes relacionados con el número de Hodge

Hay muchos invariantes que (al menos para superficies complejas) se pueden escribir como una combinación lineal de números de Hodge, como sigue:

${\ estilo de visualización b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4))$ son los números de Betty - . y y . En la característica p > 0, los números de Betti (definidos por la cohomología l-ádica ) no necesitan estar relacionados de esta manera con los números de Hodge. $b_{i}=dim(H_{i}(S))$ ${\ estilo de visualización b_{0}=b_{4}=1}$ ${\displaystyle b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2))$ $b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}$
${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4))$ es la característica de Euler o número de Euler .
q es la irregularidad , la dimensión del grupo de Picard y la dimensión de la variedad albanesa , que para superficies complejas (pero no siempre para superficies en característica positiva) son iguales a h 0,1 .
${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1))$ es un género geométrico .
${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0.2}-h^{0.1))$ es el género aritmético .
$\chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1$ es la característica holomorfa de Euler del paquete trivial. (Por lo general, es diferente del número de Euler e descrito anteriormente). Por la fórmula de Noether , este número también es igual al género de Todd ( ) ${\tfrac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}$
$\tau$ es la firma (del segundo grupo de cohomología para superficies complejas) y es igual a , que es igual a . ${\ estilo de visualización 4 \ chi-e}$ $\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}$
${\ estilo de visualización b^{+))$ y son las dimensiones de los subespacios definidos positivos y negativos máximos de , de modo que y . ${\ estilo de visualización b ^ {-}}$ $H ^ 2$ ${\displaystyle b^{+}+b^{-}=b_{2))$ $b^{+}-b^{-}=\tau$
${\ estilo de visualización c_ {2} = e}$ y son los números de Zhen definidos como integrales de varios polinomios en las clases de Zhen sobre la variedad. $c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi-e$

Para superficies complejas, las invariantes anteriores, definidas en términos de números de Hodge, dependen solo de la variedad topológica orientada subyacente.

Otras invariantes

Hay otras invariantes de superficies complejas compactas que no se usan tan activamente en la clasificación. Esto incluye invariantes algebraicas como el grupo de Picard Pic( X ), su factor es el grupo de Néron-Severi NS( X ) con rango (número de Picard) ρ, invariantes topológicas como el grupo fundamental , y grupos de cohomología y homología de enteros, e invariantes de variedades cuatridimensionales uniformes subyacentes, como las invariantes de Seiberg-Witten y las invariantes de Donaldson . $\pi_{1}$

Modelos mínimos y ampliación

Cualquier superficie es biracionalmente equivalente a una superficie no singular, por lo que en la mayoría de los casos es suficiente para clasificar superficies no singulares.

Dado cualquier punto de la superficie, podemos formar una nueva superficie ampliando ese punto, lo que significa aproximadamente que reemplazamos el punto con una línea proyectiva. En este artículo se denominará minimal a una superficie no singular X si no se puede obtener a partir de otra superficie no singular mediante la voladura de un punto. Según el teorema de contracción de Castelnuovo, esto es equivalente a la propiedad de que X no contiene curvas (−1) (curvas racionales suaves con índice de autointersección −1). (En la terminología más moderna del programa de modelo mínimo, se dice que una superficie proyectiva suave X es mínima si su paquete lineal canónico K X es un paquete nef . Una superficie proyectiva suave tiene un modelo mínimo en este sentido más estricto si y solo si su dimensión Kodaira no es negativa).

Cualquier superficie X es birracionalmente equivalente a una superficie mínima no singular, y esta superficie mínima es única si la dimensión de Kodaira de X es al menos 0 o la superficie no es algebraica. Las superficies algebraicas con dimensión de Kodaira pueden ser biracionalmente equivalentes a más de una superficie mínima no singular, pero es fácil describir la relación de estas superficies mínimas. Por ejemplo, una superficie ampliada en un punto es isomorfa a dos veces ampliada. Entonces, para clasificar todas las superficies complejas compactas hasta el isomorfismo birracional (más o menos), basta con clasificar las superficies mínimas no singulares. $-\infty$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^{2))$

Superficies de Kodaira dimensión −∞

Las superficies algebraicas de dimensión Kodaira se pueden clasificar de la siguiente manera. Si q > 0, entonces las fibras del mapeo a una variedad albanesa son líneas proyectivas (si la superficie es mínima), por lo que se gobierna la superficie. Si q = 0, este argumento falla, ya que la variedad albanesa es un punto, en cuyo caso el teorema de Castelnuovo implica que la superficie es racional. $-\infty$

Para las superficies no algebraicas, Kodaira ha encontrado una clase adicional de superficies denominada tipo VII, que aún no se comprende bien.

Superficies racionales

Una superficie racional es una superficie biracionalmente equivalente al plano proyectivo complejo P 2 . Todos ellos son algebraicos. Las superficies racionales mínimas son las propias superficies P 2 y las superficies de Hirzebruch para n = 0 o . (Una superficie de Hirzebruch es un paquete sobre , asociado con el haz O(0)+O(n). La superficie es isomorfa a , pero es isomorfa a la explosión de P 2 en un punto, por lo que no es mínima .) ${\ estilo de visualización \ Sigma _ {n}}$ $n \geqslant 2$ ${\ estilo de visualización \ Sigma _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} ^ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} ^ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ Sigma _ {0))$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$ $\Sigma_1$

Invariantes: Plurirods son todos iguales a 0, el grupo fundamental es trivial.

Rombo Hodge:

		una
	0		0
0		una		0	(plano proyectivo)
	0		0
		una

		una
	0		0
0		2		0	(Superficie de Hirzebruch)
	0		0
		una

Ejemplos: P 2 , P 1 × P 1 = Σ 0 , superficies de Hirzebruch Σ n , cuádricas , superficies cúbicas , superficies del Pezzo , superficie de Veronese . Muchos de estos ejemplos no son mínimos.

Superficies regladas de género > 0

Las superficies regladas de género g tienen un morfismo suave en una curva de género g cuyas fibras son las líneas P 1 . Todas estas superficies son algebraicas. (Las superficies de género 0 son superficies de Hirzebruch y son racionales). Cualquier superficie reglada es birracionalmente equivalente para una sola curva C , por lo que la clasificación de las superficies regladas, hasta la equivalencia birracional, es esencialmente la misma que la clasificación de las curvas. Una superficie reglada que no es isomorfa tiene un solo generador ( tiene dos). $\mathbf {P} ^{1}\veces C$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$

Invariantes: Todos los plurirods son 0.

Rombo Hodge:

		una
	gramo		gramo
0		2		0
	gramo		gramo
		una

Ejemplos: El producto de cualquier curva de género > 0 con P 1 .

Superficies Clase VII

Estas superficies nunca son algebraicas o Kähler . Las superficies mínimas con b 2 =0 son clasificadas por Bogomolov y son superficies de Hopf o superficies de Inoue . Ejemplos con un segundo número de Betti positivo son las superficies de Inoue-Hirzebruch , las superficies de Enoki y, más generalmente, las superficies de Kato . De la conjetura de la capa esférica global se deduce que todas las superficies mínimas de clase VII con un segundo número de Betti positivo son superficies Kato.

Invariantes: q =1, h 1,0 = 0. Todos los plurigenos son iguales a 0.

Rombo Hodge:

		una
	0		una
0		segundo 2		0
	una		0
		una

Superficies de Kodaira dimensión 0

Estas superficies se clasifican por la fórmula de Noether . Para la dimensión Kodaira 0 , K tiene un índice de autointersección cero , entonces . Usando las expresiones y , obtenemos ${\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1}^{2))$ $c_{1}^{2}=0$ $\chi =h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}$ ${\displaystyle c_{2}=2-2b_{1}+b_{2))$

10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}+b_{2}\right)

Además, dado que tenemos ${\ estilo de visualización \ kappa = 0}$

h^{0,2}={\begin{casos}1&K=0\\0&K\neq 0\end{casos}}

Combinando la última expresión con la anterior, obtenemos

8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}+b_{2}\right)={\begin{casos}10&K=0\\22&K\neq 0\end{casos}}

En general , los tres términos de la izquierda son números enteros no negativos, por lo que solo hay algunas soluciones para esta ecuación. Para superficies algebraicas es un entero par entre 0 y 2 pg , mientras que para superficies complejas compactas el valor es 0 o 1 y es 0 para superficies Kähler . Para superficies Kähler , tenemos . $2h^{0,1}\geqslant b_{1}$ ${\ estilo de visualización 2h^{0,1}-b_{1))$ $h^{1,0}=h^{0,1}$

La mayoría de las soluciones a estas condiciones corresponden a las clases de superficie de la siguiente tabla.

segundo 2	segundo 1	hora 0,1	pag = h 0.2 _	hora 1.0	hora 1.1	superficies	campos
22	0	0	una	0	veinte	K3	Ningún. Siempre kähleriano sobre números complejos, pero no necesariamente algebraicos.
diez	0	0	0	0	diez	Superficie clásica de Enriques	Ningún. Siempre algebraico.
diez	0	una	una			Superficie de Enriques no clásica	Características 2 solamente
6	cuatro	2	una	2	cuatro	Superficies abelianas, toros	Ningún. Siempre kähleriano sobre números complejos, pero no necesariamente algebraicos.
2	2	una	0	una	2	hiperelíptico	Ningún. Siempre algebraico
2	2	2	una			cuasi hiperbólico	Solo características 2, 3
cuatro	3	2	una	una	2	Superficie principal de Kodaira	Solo complejo, nunca Kähler
0	una	una	0	0	0	Superficie secundaria de Kodaira	Solo complejo, nunca Kähler

Superficies K3

Estas superficies son superficies complejas compactas mínimas de dimensión 0 de Kodaira con q = 0 y un paquete lineal canónico trivial. Todos son kahlerianos . Todas las superficies K3 son difeomorfas y su clase de difeomorfismo es un ejemplo importante de una variedad 4 lisa simplemente conectada con una estructura de espín.

Invariantes: El segundo grupo de cohomología H 2 ( X , Z ) es isomorfo al único retículo unimodular par II 3,19 de dimensión 22 con signatura −16.

Rombo Hodge:

		una
	0		0
una		veinte		una
	0		0
		una

Ejemplos :

Cuárticas en P 3 ( C )
Superficies de Kummer . Se obtienen factorizando una superficie abeliana mediante un automorfismo a → − a , luego ampliando 16 puntos singulares.

Una superficie marcada con K3 es una superficie K3 junto con un automorfismo de II 3,19 a H 2 ( X , Z ). El espacio de módulos de las superficies etiquetadas con K3 es un espacio analítico suave no Hausdorff conectado de dimensión 20. Las superficies algebraicas K3 forman un conjunto contable de subvariedades de 19 dimensiones de este espacio.

Superficies abelianas y toros complejos bidimensionales

Los toros complejos bidimensionales incluyen superficies abelianas . Los toros complejos unidimensionales son solo curvas elípticas y todos son algebraicos, pero Riemann descubrió que la mayoría de los toros complejos de dimensión 2 no son algebraicos. Los toros algebraicos son exactamente variedades abelianas bidimensionales . La mayor parte de su teoría es un caso especial de la teoría de toros de dimensiones superiores o variedades abelianas. El criterio de que una variedad es el producto de dos curvas elípticas (hasta una isogenia ) fue un tema de estudio popular en el siglo XIX.

Invariantes: Todos los plurigenos son iguales a 1. La superficie es difeomorfa , por lo que Z 4 es el grupo fundamental . ${\displaystyle S^{1}\veces S^{1}\veces S^{1}\veces S^{1))$

Rombo Hodge:

		una
	2		2
una		cuatro		una
	2		2
		una

Ejemplos: El producto de dos curvas elípticas. Cualquier factor C 2 sobre la red.

Superficies de Kodaira

Las superficies nunca son algebraicas, aunque tienen funciones meromórficas no constantes. Suelen dividirse en dos subtipos: superficies de Kodaira básicas con fibra canónica trivial, y superficies de Kodaira secundarias , que son factores de las primeras con respecto a grupos finitos de orden 2, 3, 4 o 6 y tienen fibras canónicas no triviales. . Las superficies secundarias de Kodaira tienen la misma relación con las superficies primarias que las superficies de Enriques con las superficies K3, o las superficies bielípticas con las superficies abelianas.

Invariantes: Si la superficie es un cociente de la superficie principal de Kodaira en un grupo de orden k =1,2,3,4,6, entonces los plurigenos P n son iguales a 1 si n es divisible por k y 0 en caso contrario.

Rombo Hodge:

		una
	una		2
una		2		una	(Principal)
	2		una
		una

		una
	0		una
0		0		0	(Secundario)
	una		0
		una

Ejemplos: tome un paquete de líneas no trivial sobre una curva elíptica, elimine la sección cero, luego encuentre el factor de capa del grupo Z , actuando como una multiplicación por potencias de algún número complejo z . Como resultado, obtenemos la superficie principal de Kodaira.

Enriques superficies

Estas son superficies complejas para las cuales q = 0 y el paquete de líneas canónicas no es trivial, pero . Las superficies de Enriques son todas algebraicas (y por lo tanto Kähler ). Son factores de la superficie K3 por grupos de orden 2, y su teoría es similar a la teoría de las superficies algebraicas K3. $P_{2}\neq 0$

Invariantes: Los Plurirods P n son 1 si n es par y 0 si n es impar. El grupo fundamental es de orden 2. El segundo grupo de cohomología H 2 ( X , Z ) es isomorfo a la suma de la única celosía unimodular par II 1,9 de dimensión 10 con signatura −8 y el grupo de orden 2.

Rombo Hodge:

		una
	0		0
0		diez		0
	0		0
		una

Las superficies de Enriques etiquetadas forman una familia de 10 dimensiones conectada, que se describe explícitamente.

Para la característica 2, existen algunas familias adicionales de superficies de Enriques, que se denominan superficies de Enriques singulares y supersingulares. Ver el artículo "Superficies Enriques" para más detalles .

Superficies hiperelípticas (o bielípticas)

En el campo de los números complejos, estas superficies son factores del producto de dos curvas elípticas con respecto a un grupo finito de automorfismos. El grupo final puede ser Z /2 Z , Z /2 Z + Z /2 Z , Z /3 Z , Z /3 Z + Z /3 Z , Z /4 Z , Z /4 Z + Z /2 Z o Z /6 Z , lo que da 7 familias de dichas superficies. Por encima de los campos de la característica 2 o 3 hay varias familias adicionales obtenidas como factores según esquemas de grupos no eta. Consulte el artículo sobre superficies hiperelípticas para obtener más información .

Rombo Hodge:

		una
	una		una
0		2		0
	una		una
		una

Superficies de Kodaira dimensión 1

Una superficie elíptica es una superficie dotada de un paquete elíptico (un mapeo holomorfo sobreyectivo en una curva B tal que todas menos un número finito de capas son curvas irreducibles suaves de género 1). La fibra sobre un punto genérico en tal paquete es una curva de género 1 sobre un campo de funciones en B . Por el contrario, dada una curva de género 1 sobre un campo de funciones en la curva, su modelo mínimo relativo es una superficie elíptica. Kodaira y otros han dado una descripción bastante completa de todas las superficies elípticas. En particular, Kodaira dio una lista completa de posibles capas especiales . La teoría de superficies elípticas es análoga a la teoría de modelos eigenregulares de curvas elípticas sobre anillos de valoración discretos (es decir, el anillo de p - enteros ádicos ) y dominios de Dedekind (es decir, el anillo de números enteros de un campo numérico).

Para las características finitas 2 y 3 se pueden obtener superficies casi elípticas , casi todas cuyas fibras pueden ser curvas racionales con un nodo, "curvas elípticas degeneradas".

Cualquier superficie con dimensión Kodaira 1 es elíptica (o cuasi elíptica en el caso de las características 2 y 3), pero lo contrario no es cierto: una superficie elíptica puede tener dimensiones Kodaira 0 o 1. $-\infty$

Todas las superficies de Enriques , todas las superficies hiperelípticas , todas las superficies de Kodaira , algunas superficies K3 , algunas superficies Abelianas y algunas superficies racionales son elípticas, en estos ejemplos tienen dimensión de Kodaira menor que 1.

Una superficie elíptica cuya curva base B tiene género al menos 2 siempre tiene dimensión Kodaira 1, pero la dimensión Kodaira puede ser 1 también para algunas superficies elípticas con curva B de género 0 o 1.

Invariantes: . $c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0$

Ejemplo: si E es una curva elíptica y B es una curva de género al menos 2, entonces también es una superficie elíptica con dimensión Kodaira 1. ${\ estilo de visualización E \ veces B}$

Superficies de Kodaira dimensión 2 (superficies de tipo general)

Todos son algebraicos y, en cierto sentido, la mayoría de las superficies pertenecen a esta clase. Gieseker demostró que existe un esquema de módulos aproximados para superficies de tipo general. Esto quiere decir que para cualesquiera valores fijos de los números de Chern , existe un esquema cuasi-proyectivo que clasifica superficies de tipo general con estos números de Chern. Sin embargo, la tarea de describir explícitamente estos circuitos es muy difícil y hay muy pocos pares de números de Chern para los que se ha hecho esto (excepto cuando el circuito está vacío). ${\ estilo de visualización c_ {1}^{2))$ $c_{2}$

Invariantes: Hay algunas condiciones que deben cumplir los números de Chern de una superficie compleja mínima de tipo general:

$c_{1}^{2}>0,c_{2}>0$
${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2))$ ( Desigualdad de Bogomolov-Miaoki-Yau )
$5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0$ (desigualdad de Noether)
$c_{1}^{2}+c_{2}$ es divisible por 12

La mayoría de los pares de enteros que satisfacen estas condiciones son números de Chern para alguna superficie compleja de tipo general.

Ejemplos: Los ejemplos más simples son el producto de dos curvas de género al menos 2 y una hipersuperficie de grado al menos 5 en P 3 . Se conoce un gran número de otras estructuras. Sin embargo, no se conoce ninguna construcción que dé una superficie "típica" de tipo general para grandes números de Chern. De hecho, ni siquiera se sabe si existe una noción aceptable de una superficie "típica" de tipo general. Se han encontrado muchos otros ejemplos, incluidas la mayoría de las superficies modulares de Hilbert , falsos planos proyectivos , superficies de Barlow , etc.

Literatura

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