El logaritmo binario es el logaritmo en base 2. En otras palabras, el logaritmo binario de un número es la solución de la ecuación
El logaritmo binario de un número real existe si, según ISO 31-11 , se denota por [1] o . Ejemplos:
Históricamente, los logaritmos binarios encontraron su primer uso en teoría musical cuando Leonhard Euler estableció que el logaritmo binario del cociente de las frecuencias de dos tonos musicales es igual al número de octavas que separa un tono de otro. Euler también publicó una tabla de los logaritmos binarios de los números enteros del 1 al 8, hasta siete decimales [2] [3] .
Con el advenimiento de la informática , quedó claro que se necesitaban logaritmos binarios para determinar el número de bits necesarios para codificar un mensaje . Otros campos en los que se suele utilizar el logaritmo binario incluyen la combinatoria , la bioinformática , la criptografía , los torneos deportivos y la fotografía . Muchos sistemas de programación comunes proporcionan una función estándar para calcular el logaritmo binario.
La siguiente tabla asume que todos los valores son positivos [4] :
Fórmula | Ejemplo | |
---|---|---|
Trabajar | ||
cociente de división | ||
La licenciatura | ||
Raíz |
Hay una generalización obvia de las fórmulas anteriores para el caso en que se permiten variables negativas, por ejemplo:
La fórmula para el logaritmo de un producto se puede generalizar fácilmente a un número arbitrario de factores:
Relación entre logaritmos binarios, naturales y decimales :
Si consideramos el número logarítmico como una variable, obtenemos la función de logaritmo binario: . Está definido para toda la gama de valores: . El gráfico de esta función a menudo se llama logaritmo , es el inverso de la función . La función es monótonamente creciente, continua y diferenciable dondequiera que se defina. Su derivada viene dada por la fórmula [5] :
El eje y es una asíntota vertical porque:
El logaritmo binario de un número natural le permite determinar el número de dígitos en la representación interna de la computadora ( bit ) de este número:
(los paréntesis indican la parte entera del número)La entropía de la información es una medida de la cantidad de información , también basada en el logaritmo binario
Estimación de la complejidad asintótica de algoritmos recursivos de divide y vencerás [6] tales como clasificación rápida , transformada rápida de Fourier , búsqueda binaria , etc.
Si un árbol binario contiene nodos, entonces su altura no es menor que (la igualdad se logra si es una potencia de 2) [7] . En consecuencia, el número de Strahler-Filosofov para un sistema fluvial con afluentes no excede [8] .
La dimensión isométrica de un cubo parcial con vértices no es menor que el número de aristas del cubo, no mayor que la igualdad cuando el cubo parcial es un gráfico de hipercubo [9] .
Según el teorema de Ramsey , un gráfico de vértice no dirigido contiene una camarilla o un conjunto independiente cuyo tamaño depende logarítmicamente de El tamaño exacto de este conjunto se desconoce, pero actualmente las mejores estimaciones contienen logaritmos binarios.
El número de rondas del juego según el sistema olímpico es igual al logaritmo binario del número de participantes en la competición [10] .
En teoría musical , para resolver la cuestión de cuántas partes dividir una octava , se requiere encontrar una aproximación racional para Si expandimos este número a una fracción continua , entonces la tercera fracción convergente (7/12) nos permite para justificar la división clásica de la octava en 12 semitonos [11] .