El doble seis de Schläfli es una configuración de 30 puntos y 12 líneas propuesta por Schläfli [1] . Las configuraciones directas se pueden dividir en dos subconjuntos de 6 líneas, con cada línea separada (es decir, cruzándose ) con las líneas de un conjunto e intersecándose con cada línea del otro [excepto ella misma]). Cada una de las 12 líneas de la configuración tiene 5 puntos de intersección, y cada uno de estos 30 puntos de intersección pertenece exactamente a dos líneas que pertenecen a diferentes subconjuntos, por lo que el doble seis de Schläfli se denota como 12 5 30 2 .
Como mostró Schläfli, se puede construir un seis doble a partir de cinco líneas a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , si se cruzan con la sexta línea b 6 , pero por lo demás están en posición general (en particular, cada de las dos líneas ai y aj deben intersecarse , y ninguna de las cuatro líneas ai debe estar sobre una superficie reglada común ). Para cada una de las cinco líneas a i , el conjunto adicional de líneas tiene dos secantes cuádruples : b 6 y b i . Las cinco líneas b 1 , b 2 , b 3 , b 4 y b 5 así obtenidas intersecan la línea a 6 . Doce líneas a i y b i forman un doble seis: cada línea a i tiene una intersección con cinco líneas b j para las cuales i ≠ j y viceversa.
Otra construcción, que se muestra en la ilustración, se obtiene disponiendo doce líneas que pasan por los centros de los seis lados del cubo y descansan sobre el plano de estos lados, y cada línea tiene el mismo ángulo con las aristas correspondientes del cubo.
En el caso general, la superficie cúbica contiene 27 líneas rectas, entre las cuales se pueden encontrar 36 configuraciones de seises Schläfli dobles. El conjunto de 15 líneas, adicionales al doble seis, junto con 15 planos tangentes que pasan por los triples de estas líneas, tiene la estructura de intersecciones de otra configuración, la configuración Cremona-Richmond .
El gráfico de intersección de doce configuraciones rectas de doble seis es una corona con 12 vértices, un gráfico bipartito en el que cada vértice es adyacente a cinco de los seis vértices de un color diferente. El gráfico de Levy del doble seis se puede obtener reemplazando cada borde de la corona con un camino de dos bordes. El gráfico de intersección de las 27 líneas en una superficie cúbica es el complemento del gráfico de Schläfli .