Varianza de una variable aleatoria

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La dispersión de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de los valores de una variable aleatoria en relación con su expectativa matemática . Designado en la literatura rusa y ( variación inglesa ) en el extranjero. En estadística, se utiliza a menudo la designación o . $D[X]$ $\nombre del operador {Var}(X)$ $\sigma _{X}^{2}$ $\ estilo de visualización \ sigma ^ {2}$

La raíz cuadrada de la varianza, igual a , se denomina desviación estándar , desviación estándar o dispersión estándar. La desviación estándar se mide en las mismas unidades que la propia variable aleatoria y la varianza se mide en los cuadrados de esa unidad. $\ estilo de visualización \ sigma$

De la desigualdad de Chebyshev se deduce que la probabilidad de que los valores de una variable aleatoria difieran de la expectativa matemática de esta variable aleatoria en más de desviaciones estándar es menor que . En casos especiales, la puntuación puede ser mejorada. Entonces, por ejemplo, en al menos el 95% de los casos, los valores de una variable aleatoria con una distribución normal se eliminan de su media en no más de dos desviaciones estándar, y en aproximadamente el 99,7%, en no más de tres. $k$ $1/k^{2}$

Definición

La dispersión de una variable aleatoria se llama la expectativa matemática del cuadrado de la desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática.

Sea una variable aleatoria definida en algún espacio de probabilidad . Entonces la dispersión es $X$

D[X]=\mathbb {E} \left[{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}\right],

donde el símbolo representa el valor esperado [1] [2] . ${\ matemáticas {E}}$

Notas

Si la variable aleatoria es discreta , entonces $X$ $D[X]=\sum_{i=1}^{n}{p_{i}(x_{i}-\mathbb {E} [X])^{2)),$ $D[X]={\frac {1}{2}}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{p_{i}p_{j }(x_{i}-x_{j})^{2}}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}{p_{i}p_ {j}(x_{i}-x_{j})^{2}},$

donde es el -ésimo valor de la variable aleatoria, es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor , es la cantidad de valores que toma la variable aleatoria. $x_{yo}$ $i$ $p_{i}=P(X=x_{i})$ $x_{yo}$ $norte$

Prueba de la 2da fórmula

Sea una variable aleatoria independiente pero con la misma distribución. Entonces , y _ $Y$ $X$ $P(Y=x_{i})=p_{i}$ $\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X]$ ${\ estilo de visualización D[Y]=D[X]}$

D[XY]=D[X]+D[Y]=2D[X]

D[XY]=\mathbb {E} [(XY)^{2}]-\mathbb {E} [XY]^{2}=\mathbb {E} [(XY)^{2}] =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}

Comparando estas dos fórmulas, obtenemos la igualdad deseada.

Si la variable aleatoria es continua , entonces: $X$ ${\displaystyle D[X]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)dx))$ $D[X]={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\infty}^{+\infty}\int \limits_{-\infty}^{+\infty} (x_{2}-x_{1})^{2}{f(x_{1})f(x_{2})dx_{1}dx_{2}}$ ,

donde es la densidad de probabilidad de una variable aleatoria. $f(x)$

Debido a la linealidad de la expectativa matemática, la fórmula es válida: $D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}$
La dispersión es el segundo momento central de la variable aleatoria.
La dispersión puede ser infinita.
La varianza se puede calcular utilizando la función generadora de momentos : $Utah)$ $D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}=U''(0)-\left( U'(0)\derecha)^{2}.$
La varianza de una variable aleatoria entera se puede calcular utilizando la función generadora de secuencias .
La fórmula para calcular la estimación sesgada de la varianza de una variable aleatoria sobre la secuencia de realizaciones de esta variable aleatoria: tiene la forma: $X$ $X_{1}...X_{n}$ ${\overline {S}}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X }})^{2}$ , donde es la media muestral (estimación no sesgada ). ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} [X]}$

Para obtener una estimación imparcial de la varianza de una variable aleatoria, el valor debe multiplicarse por . La estimación insesgada tiene la forma:

{\sobrelínea {S}}^{2}

{\frac{n}{n-1))

{\widetilde {S}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}

Propiedades

La varianza de cualquier variable aleatoria no es negativa: $D[X]\geqslant 0;$
Si la varianza de una variable aleatoria es finita, entonces su expectativa matemática también es finita;
Si una variable aleatoria es igual a una constante, entonces su varianza es cero: Lo contrario también es cierto: si entonces casi en todas partes . $D[a]=0.$ $D[X]=0,$ $X=\mathbb {E} [X]$
La varianza de la suma de dos variables aleatorias es: $D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov))(X,Y)$ , donde es su covarianza . ${\text{cov}}(X,Y)$
Para la varianza de una combinación lineal arbitraria de varias variables aleatorias, la igualdad tiene lugar: $D\left[\sum_{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{2 }D[X_{i}]+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov))(X_{i},X_{j })$ , donde . $c_{i}\en \mathbb{R}$
En particular, para cualquier variable aleatoria independiente o no correlacionada , ya que sus covarianzas son iguales a cero. $D[X_{1}+\ldots +X_{n}]=D[X_{1}]+\ldots +D[X_{n}]$
$D\left[aX\right]=a^{2}D[X]$
$D\izquierda[-X\derecha]=D[X]$
$D\izquierda[X+b\derecha]=D[X]$
Si es una variable aleatoria de un par de eventos elementales (una variable aleatoria en el producto cartesiano de espacios de probabilidad), entonces ${\ estilo de visualización X = X (\ omega, \ tau)}$ $D_{(\omega ,\tau )}[X]=\mathbb {E} _{\omega }[D_{\tau }[X]]+D_{\omega }[\mathbb {E} _ {\tau}[X]]$

Varianza condicional

Junto con la expectativa matemática condicional , la teoría de procesos aleatorios utiliza la varianza condicional de variables aleatorias . ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} [X|Y]}$ $D[X|Y]$

La varianza condicional de una variable aleatoria con respecto a una variable aleatoria es una variable aleatoria $X$ $Y$

D[X|Y]=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X|Y])^{2}|Y]=\mathbb {E} [X^{2}| Y]-\mathbb {E} [X|Y]^{2}

Sus propiedades:

La varianza condicional con respecto a una variable aleatoria es una variable aleatoria medible en Y (es decir, es medible con respecto al álgebra sigma generada por la variable aleatoria ); $Y$ $Y$
La varianza condicional no es negativa: ; $D[X|Y]\geqslant 0$
La varianza condicional es igual a cero si y sólo si es casi seguro, es decir, si y sólo si coincide casi seguro con alguna cantidad medible Y (a saber, con ); $D[X|Y]$ $X=\mathbb {E} [X|Y]$ $X$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} [X|Y]}$
La varianza ordinaria también se puede representar como condicional: ; ${\ estilo de visualización D[X]=D[X|1]}$
Si las cantidades y son independientes, la variable aleatoria es una constante igual a . $X$ $Y$ $D[X|Y]$ $D[X]$
Si son dos variables aleatorias numéricas, entonces $X,Y$ $D[X]=\mathbb {E} [D[X|Y]]+D[\mathbb {E} [X|Y]],$

de donde, en particular, se sigue que la varianza de la expectativa condicional es siempre menor o igual que la varianza de la variable aleatoria original .

{\ estilo de visualización \ mathbb {E} [X|Y]}

X

Ejemplo

Deje que una variable aleatoria tenga una distribución uniforme continua estándar en , es decir, su densidad de probabilidad está dada por la igualdad $\ estilo de visualización X$ ${\ estilo de visualización \ estilo de visualización [0,1]}$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matriz}1,&x\en [0,1]\\0,&x\no \en [0,1].\end{matriz}}\ Correcto.

Entonces la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria es

\mathbb {E} \left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac { x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}}

y la expectativa matemática de la variable aleatoria es

\mathbb {E} \left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2 }}\derecha\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}

La varianza de la variable aleatoria es

D[X]=\mathbb {E} \left[X^{2}\right]-(\mathbb {E} [X])^{2}={\frac {1}{3)) -\izquierda({\frac {1}{2}}\derecha)^{2}={\frac {1}{12}}

Véase también

Notas

↑ Kolmogorov A. N. Capítulo IV. Expectativas matemáticas; §3. Desigualdad de Chebyshev // Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. - 2ª ed. - M. : Nauka, 1974. - S. 63-65. — 120 s.
↑ Borovkov A. A. Capítulo 4. Características numéricas de variables aleatorias; §5. Dispersión // Teoría de la probabilidad. - 5ª ed. - M. : Librokom, 2009. - S. 93-94. — 656 pág.

Literatura

Gursky D., Turbina E. Mathcad para estudiantes y escolares. Tutoría popular . - San Petersburgo. : Peter, 2005. - S. 340. - ISBN 5469005259 .
Orlov AI Dispersión de una variable aleatoria // Matemáticas del caso: Probabilidad y estadística - hechos básicos. — M. : MZ-Press, 2004.