Sistema rígido

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Un sistema rígido de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) es (en términos generales) un sistema de EDO, cuya solución numérica por métodos explícitos (por ejemplo, los métodos de Runge-Kutta o Adams ) es insatisfactoria debido a un fuerte aumento en el número de cálculos (con un pequeño paso de integración) o debido a un fuerte aumento en el error (la llamada explosión de error) con un paso insuficientemente pequeño. Los sistemas rígidos se caracterizan por el hecho de que para ellos los métodos implícitos dan el mejor resultado, normalmente incomparablemente mejor que los métodos explícitos [1] .

Formal definición

Considere el problema de Cauchy para un sistema autónomo de EDO de la forma

{\begin{casos}{\dfrac {d{\mathbf {y}}(x)}{dx}}={\mathbf {F}}({\mathbf {y}}(x)),\quad { \mathbf {F}}({\mathbf {y}})\in C^{p}(\Omega ),\quad \Omega \subconjunto \mathbb{R} ^{m},\\{\mathbf {y }}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}\en \Omega,\end{casos}}

(una)

donde es una función vectorial desconocida , es una función vectorial dada, es una variable independiente, es una condición inicial . ${\ matemáticas {y}} (x)$ ${\mathbf{F}}({\mathbf{y}})$ $X$ ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$

El sistema (1) se denomina rígido si para cualesquiera valores iniciales sobre un segmento dado perteneciente al intervalo de existencia de la solución (1) , se cumplen las siguientes condiciones: ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$ $[x_{0},\;x_{{\mathrm {fin}}}]$

el módulo máximo de los valores propios de la matriz de Jacobi ( radio espectral ) está acotado a lo largo de la solución : $\rho$ ${\ matemáticas {y}} (x)$

0<L\leqslant \rho \left({\frac {\parcial {\mathbf {y))(x)}{\parcial x))\right)\leqslant \left\|{\frac {\parcial {\ mathbf {y}}(x)}{\x parcial}}\right\|=\left\|\left.{\frac {\parcial K(x+\xi ,\;x)}{\parcial \xi } }\right|_{{\xi =0}}\right\|<+\infty ,\quad x_{0}\leqslant x\leqslant x_{{\mathrm {end}}};

hay números , , , que cumplen las siguientes condiciones: $\xi _{{\mathrm {b}}}$ $norte$ $\nu$

0<\xi _{{\mathrm {b}}}\ll x_{{\mathrm {fin}}},\quad N\gg 1,\quad 1\leqslant \nu \leqslant p,\quad 0<\ xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi_{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi \leqslant x_{{\mathrm {fin}}};

la siguiente desigualdad es cierta:

\left\|{\frac {\parcial ^{\nu }K(x+\xi ,\;x)}{\parcial \xi ^{\nu ))}\right\|\leqslant \left({\frac {L}{N}}\right)^{\nu }.

Aquí

K(x+\xi ,\;x)=X(x+\xi )X^{{-1}}(x);

x(x)

es la matriz fundamental de la ecuación en variaciones para el sistema (1) ;

\|A\|=\|A\|_{m}=\max _{i}\sum _{{j=1}}^{m}|a_{{ij}}|

es la matriz -norma .

metro

\xi _{{\mathrm {b}}}

es la llamada longitud (parámetro) de la capa límite.

Los sistemas ODE diferenciales rígidos también incluyen sistemas para los cuales estas condiciones se cumplen después de escalar los componentes del vector en cada solución. ${\mathrm {y}}(x)$

Dado que cualquier sistema de orden ODE no autónomo puede reducirse a uno autónomo mediante la introducción de una función auxiliar adicional, un sistema ODE no autónomo se denomina rígido si el sistema de orden autónomo equivalente es rígido . $metro$ $m+1$

Notas

↑ Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integración de ecuaciones rígidas Archivado el 24 de septiembre de 2015 en Wayback Machine // Actas de la Academia Nacional de Ciencias de EE. UU. - 1952. - vol. 38(3). - págs. 235-243.

Literatura

Hairer E., Wanner G. Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Problemas rígidos y algebraicos diferenciales / Per. De inglés. — M .: Mir, 1999. — 685 p. — ISBN 5-03-003117-0 . .
Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integración de ecuaciones rígidas // Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los EE. UU. - 1952. - vol. 38(3). - págs. 235-243.

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