Forma canónica de Weir

La forma canónica de Weir ( forma de Weir , matriz de Weir , forma de Jordan modificada , forma de Jordan reorganizada , segunda forma de Jordan , forma H [1] ) es una matriz cuadrada que satisface ciertas condiciones, introducida por el matemático checo Eduard Weyr ( checo. Eduard Weyr ) en 1885 [2] [3] [4] .

La forma no se usó mucho en la investigación matemática, ya que en cambio se usó con un propósito cercano, pero diferente de ella, la forma canónica de Jordan [4] , debido a la baja popularidad de la forma, fue redescubierta varias veces [5] . La forma ganó fama a fines de la década de 1990 y principios de la de 2000 debido a su uso en bioinformática para invariantes filogenéticos .

Definiciones

Weir matriz elemental

Una matriz de Weir elemental con un valor propio es una matriz de la siguiente forma: $\lambda$ $n\veces n$ $W$

Que se dé una partición

n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}=n

números , donde tal que cuando se considera como un bloque -matrix , donde el -ésimo bloque es una matriz , y se cumplen las siguientes tres condiciones:

norte

n_{1}\geqslant n_{2}\geqslant \cdots \geqslant n_{r}\geqslant 1

W

{\ estilo de visualización r \ veces r}

{\ estilo de visualización (W_ {ij})}

(yo, j)

{\ Displaystyle W_ {ij}}

{\displaystyle n_{i}\times n_{j))

Los bloques de la diagonal principal son - matrices escalares , donde . ${\ Displaystyle W_ {ii}}$ ${\displaystyle n_{i}\veces n_{i))$ ${\ estilo de visualización \ lambda I}$ $i=1,\ldots,r$
Los bloques de la primera superdiagonal son matrices de rango de columna completa , que tienen una forma escalonada por renglones (es decir, una matriz identidad seguida de cero renglones), donde . $W_{i,i+1}$ $n_{i}\veces n_{i+1}$ $i=1,\ldots,r-1$
Todos los demás bloques de la matriz son cero (es decir , donde ). $W$ ${\ estilo de visualización W_ {ij} = 0}$ $j\neq i,i+1$

En este caso, se dice que tiene una estructura Weir . $W$ $(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r})$

Un ejemplo de una matriz Weir elemental:

{\ estilo de visualización W = {}}

{}={\begin{bmatrix}W_{11}&W_{12}&&\\&W_{22}&W_{23}&\\&&W_{33}&W_{34}\\&&&W_{44}\\ \end{bmatriz}}.

En esta matriz y . Así, la matriz tiene una estructura Weir . También $n=10$ $n_{1}=4,\ n_{2}=2,\ n_{3}=2,\ n_{4}=1$ $W$ ${\ estilo de visualización (4,2,2,1)}$

W_{11}={\begin{bmatrix}\lambda &0&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix))=\lambda I_{4}, \quad W_{22}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{33}={\begin{bmatrix} \lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{44}={\begin{bmatrix}\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda yo_{1}

W_{12}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix)),\quad W_{23}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \\\end{bmatrix}},\quad W_{34}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}.

Matriz de presa general

Sea una matriz cuadrada , y sean diferentes valores propios de la matriz . Se dice que es una forma Weir (o matriz Weir) si tiene la siguiente forma: $W$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {k}}$ $W$ $W$ $W$

W={\begin{bmatrix}W_{1}&&&\\&W_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&W_{k}\\\end{bmatrix)),

donde es la forma Weir elemental con valor propio , donde . $Wisconsin$ $\lambda _{i}$ $i=1,\ldots,k$

Aplicaciones de la Forma Weyr

Algunas aplicaciones notables de la forma Weir [4] son:

La forma de Weir se puede utilizar para simplificar la demostración del teorema de Gerstenhaber, que establece que la subálgebra generada por dos matrices conmutativas tiene una dimensión máxima de . $n\veces n$ $norte$
Se dice que un conjunto de matrices finitas es aproximadamente diagonalizable conjuntamente si se pueden perturbar a matrices diagonalizables conjuntamente. La forma de Weir se usa para demostrar la diagonalización conjunta aproximada de varias clases de matrices. La propiedad de diagonalizabilidad conjunta aproximada se utiliza en el estudio de las invariantes filogenéticas en bioinformática .
La forma de Weir se puede utilizar para simplificar las pruebas de la irreductibilidad de una determinada serie de todas las k -tuplas posibles de matrices conmutadas.

Notas

↑ La terminología moderna se estableció en 1999 después de la publicación de: Shapiro, H. The Weyr character (inglés) // The American Mathematical Monthly : journal. - 1999. - vol. 106 . - Pág. 919-929 .
↑ Eduardo Weyr. Répartition des matrix en espèces et formación de toutes les espèces (francés) // Comptes Rendus, París: revista. - 1985. - vol. 100 _ - Pág. 966-969 .
↑ Eduardo Weyr. Zur Theorie der bilinearen Formen (neopr.) // Monatsh. Matemáticas. medicamento. - 1980. - T. 1 . - S. 163-236 .
↑ 1 2 3 Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Temas Avanzados en Álgebra Lineal : Tejiendo Problemas de Matrices a través de la Forma de Weyr . — Prensa de la Universidad de Oxford , 2011.
↑ Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Temas Avanzados en Álgebra Lineal : Tejiendo Problemas de Matrices a través de la Forma de Weyr . - Oxford University Press , 2011. - Pág. 44 , 81-82.