Paquete tangente

El fibrado tangente de una variedad uniforme es un fibrado vectorial sobre , cuya fibra en el punto es el espacio tangente en el punto . El paquete tangente generalmente se denota . $METRO$ $METRO$ $x\en M$ $T_{x}M$ $X$ $TM$

Un elemento del espacio total es un par , donde y . El fibrado tangente tiene una topología natural (no la topología de una unión disyuntiva) y una estructura suave , que lo convierten en una variedad. La dimensión es igual al doble de la dimensión . $TM$ $(x,\;v)$ $x\en M$ $v\en T_{x}M$ $TM$ $METRO$

Topología y estructura suave

Si es una variedad -dimensional, entonces tiene un atlas de mapas , donde es un subconjunto abierto y $METRO$ $norte$ $(U_{\alfa},\;\varphi _{\alfa})$ $U_ {\ alfa}$ $METRO$

\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb{R} ^{n}

es un homeomorfismo .

Estas coordenadas locales generan un isomorfismo entre y para cualquier . Puede definir una pantalla $tu$ $T_{x}M$ $\mathbb{R} ^{n}$ $x\en ti$

{\tilde \varphi }_{\alpha }\colon \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })\to \mathbb{R} ^{{2n}}

cómo

{\tilde \varphi }_{\alpha }(x,\;v^{i}\parcial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\ ;\ldots ,\;v^{n}).

Estas asignaciones se utilizan para definir la topología y la estructura uniforme en . $TM$

Un subconjunto de está abierto si y solo si está abierto para cualquier . Estos mapas son homeomorfismos de subconjuntos abiertos de y , por lo que forman mapas de estructura suave en . Las funciones de transición en las intersecciones de mapas están dadas por las matrices de Jacobi de las transformaciones de coordenadas correspondientes, por lo que son mapeos suaves de subconjuntos abiertos . $A$ $TM$ ${\tilde \varphi }_{\alpha }(A\cap \pi ^{{-1))(U_{\alpha }))$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\alfa$ $TM$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $TM$ $\pi ^{{-1}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Un paquete tangente es un caso especial de una construcción más general llamada paquete vectorial . El paquete tangente de una variedad bidimensional se puede definir como un paquete vectorial de rango sobre , cuyas funciones de transición están dadas por el jacobiano de las transformaciones de coordenadas correspondientes. $norte$ $METRO$ $norte$ $METRO$

Ejemplos

El ejemplo más simple se obtiene para . En este caso, el fibrado tangente es trivial e isomorfo a la proyección . $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}\a \mathbb{R} ^{n}$
Círculo unitario . Su paquete tangente también es trivial e isomorfo . Geométricamente, es un cilindro de altura infinita (ver imagen arriba). $S^{1}$ $S^{1}\times\mathbb{R}$
Un ejemplo simple de un paquete tangente no trivial se obtiene en la esfera unitaria ; este paquete tangente no es trivial debido al teorema de peinado de hedgehog . $S^{2},$

Desafortunadamente, solo se pueden dibujar los paquetes tangentes de la línea real y el círculo unitario , los cuales son triviales. Para 2 variedades, el paquete tangente es una variedad de 4, por lo que es difícil de representar. $R$ $S^{1}$

Campos vectoriales

Un campo vectorial es una función vectorial suave en la variedad cuyo valor en cada punto es un vector tangente a , es decir, una aplicación suave $METRO$ $METRO$

V\colon M\toTM

tal que la imagen , denotada por, se encuentra en el espacio tangente en el punto . En el lenguaje de paquetes localmente triviales , tal mapeo se llama sección . El campo vectorial sobre es una sección del haz tangente sobre . $X$ $V_{x}$ $T_{x}M$ $X$ $METRO$ $METRO$

El conjunto de todos los campos vectoriales se denota por . Los campos vectoriales se pueden agregar por puntos: $METRO$ $\Gamma (TM)$

(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}

y multiplicar por funciones suaves en $METRO$

(fV)_{x}=f(x)V_{x},

obtención de nuevos campos vectoriales. El conjunto de todos los campos vectoriales adquiere entonces la estructura de un módulo sobre el álgebra conmutativa de funciones suaves en (denotado por ). $\Gamma (TM)$ $METRO$ $C^{\infty}(M)$

Si hay una función suave, entonces la operación de diferenciación a lo largo del campo vectorial da una nueva función suave . Este operador de diferenciación tiene las siguientes propiedades: $F$ $X$ $xf$

Aditividad: . $X(f+h)=Xf+Xh$
La regla de Leibniz : . $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$

Un campo vectorial en una variedad también se puede definir como un operador con las propiedades anteriores.

Un campo vectorial local en es una sección local del fibrado tangente. El campo vectorial local se define solo en algún subconjunto abierto de , y en cada punto de , se especifica un vector del espacio tangente correspondiente. El conjunto de campos vectoriales locales sobre forma una estructura denominada lápiz de espacios vectoriales reales sobre . $METRO$ $tu$ $METRO$ $tu$ $METRO$ $METRO$

Campo vectorial canónico en TM

En cada paquete tangente , se puede definir un campo vectorial canónico. Si son coordenadas locales en , entonces el campo vectorial tiene la forma $TM$ $(x,\;y)$ $TM$

V=\left.y^{i}{\frac {\parcial }{\parcial y^{i}}}\right|_{{(x,\;y))).

$V$ es una pantalla . $V\colonTM\a TTM$

La existencia de dicho campo vectorial en se puede comparar con la existencia de una forma canónica de 1 en el paquete cotangente . $TM$

Véase también

Pantalla diferencial
campo vectorial
La distribución es un subpaquete del paquete tangente
Paquete cotangente
La métrica de Sasaki es una métrica natural en el paquete tangente de una variedad de Riemann.

Enlaces

Arnold VI Métodos matemáticos de la mecánica clásica. - 5ª ed., estereotipada. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 copias. — ISBN 5-354-00341-5 .
Vasiliev V. A. Introducción a la topología. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Juan M Lee Introducción a los colectores suaves. - Nueva York: Springer-Verlag, 2003. - ISBN 0-387-95495-3 .
Jürgen Jost. Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico. - Berlín: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 3-540-42627-2 .
Todd Rowland. Tangent Bundle (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Tangent Bundle (inglés) en el sitio web de PlanetMath .