La categoría de grupos abelianos (denotada Ab ) es una categoría cuyos objetos son grupos abelianos y cuyos morfismos son homomorfismos de grupo . Es el prototipo de la categoría Abeliana . [1] , de hecho, cualquier categoría abeliana pequeña se puede incrustar en Ab [2] .
Ab es una subcategoría completa de Grp ( categorías de todos los grupos ). La principal diferencia entre Ab y Grp es que la suma de dos homomorfismos de grupos abelianos vuelve a ser un homomorfismo:
( f + gramo )( x + y ) = f ( x + y ) + gramo ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + gramo ( x ) + gramo ( y ) = f ( x ) + gramo ( x ) + f ( y ) + gramo ( y ) = ( f + gramo )( x ) + ( f + gramo )( y )La tercera igualdad requiere la conmutatividad de la suma. La suma de morfismos hace de Ab una categoría preaditiva , y dado que la suma directa finita de grupos abelianos es un subproducto , se deduce que Ab es una categoría aditiva .
En Ab la noción de núcleo en sentido categórico es la misma que la noción de núcleo en sentido algebraico , lo mismo vale para el conúcleo . (La diferencia clave entre Ab y Grp aquí es que f ( A ) puede no ser un subgrupo normal en Grp , por lo que el grupo cociente B / f ( A ) no siempre se puede definir). Dadas las descripciones específicas del kernel y del cokernel, es fácil para comprobar si ese Ab es de hecho una categoría abeliana .
Un objeto Ab es inyectivo si y sólo si el grupo es divisible ; es proyectivo si y sólo si el grupo es libre.
Dados dos grupos abelianos A y B , se puede definir su producto tensorial A ⊗ B ; es de nuevo un grupo abeliano, lo que hace de Ab una categoría monoide .
Ab no es cerrado cartesiano porque las exponenciales no siempre están definidas en él .