Exponencial

El exponencial es un análogo teórico de categorías del conjunto de funciones en la teoría de conjuntos . Las categorías en las que existen límites finitos y exponenciales se denominan cerradas cartesianas .

Definición

Que haya productos binarios en la categoría . Entonces el exponencial se puede definir como un morfismo universal de un funtor a . (El funtor from to asigna un objeto a y morfismos a ). $C$ $Z^{Y}$ ${\ estilo de visualización [-] \ veces Y}$ $Z$ ${\ estilo de visualización [-] \ veces Y}$ $C$ $C$ $X$ $X \veces Y$ $\varphi$ $\varphi \times \mathrm {id} _{Y}$

Más explícitamente, la exponencial de objetos y es tal objeto, junto con un morfismo llamado mapa de evaluación , que para cualquier objeto y morfismo existe un único morfismo para el cual el siguiente diagrama es conmutativo: $Z^{Y}$ $Z$ $Y$ $eval\colon Z^{Y}\times Y\to Z$ $X$ $g\dos puntos X\veces Y\a Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$

Si la exponencial existe para todo en , entonces el funtor que envía a es el dual derecho de . En este caso, hay una biyección natural : $Z^{Y}$ $Z$ $C$ $Z$ $Z^{Y}$ ${\ estilo de visualización [-] \ veces Y}$

\mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})

Ejemplos

En la categoría de conjuntos , un exponencial es el conjunto de todas las funciones desde hasta ( potencia cardinal ). Para cualquier mapeo , el mapeo es la forma curry : $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $g\dos puntos (X\veces Y)\flecha derecha Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ $gramo$

{\ estilo de visualización \ lambda g (x) (y) = g (x, y)}

En la categoría de espacios topológicos , existe una exponencial si es un espacio de Hausdorff localmente compacto . En este caso , es el conjunto de funciones continuas de a con la topología compacta-abierta . Si no es un espacio de Hausdorff localmente compacto, es posible que el exponencial no exista (el espacio existirá, pero es posible que el mapeo ya no sea continuo). Por ello, la categoría de espacios topológicos no es cartesiana cerrada . $Z^{Y}$ $Y$ $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $Y$ $Z^{Y}$ $\lambda$

Literatura

Goldblatt R. Topoi. Análisis categórico de la lógica = Topoi. El análisis categorial de la lógica / Per. De inglés. V. N. Grishin y V. V. Shokurov, ed. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 p.
McLane S. Categorías para el matemático que trabaja / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. Categorías abstractas y concretas (La alegría de los gatos ) . — John Wiley & Sons , 2006.