Grupo cuasicíclico

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Un grupo p cuasicíclico , para un número primo fijo p , es el único grupo p en el que se pueden extraer exactamente p raíces del p -ésimo grado de cualquier elemento. Por lo general, se denota como Z ( p ∞ )

El grupo p cuasicíclico también se denomina grupo p de Prufer , en honor al matemático alemán Heinz Prüfer .

Propiedades

Un grupo p cuasicíclico se puede representar como un subgrupo U(1) que consiste en raíces complejas de unidad de grado p n , donde n pasa por todos los números naturales:

\mathbb {Z} (p^{\infty})=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbb {N} ,\,n\in \ matemáticasbb {N} \}.\;

De manera equivalente, un grupo p cuasicíclico puede verse como un subgrupo de Q/Z que consta de elementos cuyo orden es una potencia de p :

\mathbb {Z} (p^{\infty})=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .

Además , el grupo p de Prufer puede estar dado por generadores y relaciones:

\mathbb {Z} (p^{\infty})=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1 ,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\puntos\,\ángulo .

Un p -grupo cuasicíclico es el único p -grupo infinito que es localmente cíclico (es decir, tal que cualquier subconjunto finito de sus elementos genera un grupo cíclico ). Es fácil ver que todos los subgrupos propios de un grupo cuasicíclico son cíclicos.

Un grupo cuasicíclico es divisible .

En la teoría de grupos topológicos localmente compactos , un p -grupo cuasicíclico equipado con la topología discreta es el dual de Pontryagin al grupo compacto de enteros p -ádicos .

Los grupos p cuasicíclicos, para todos los primos p posibles , son los únicos grupos infinitos tales que el conjunto de sus subgrupos está ordenado linealmente por incrustación:

0\subconjunto \mathbf {Z} /p\subconjunto \mathbf {Z} /p^{2}\subconjunto \mathbf {Z} /p^{3}\subconjunto \cdots \subconjunto \mathbf {Z} (p^{\infty}).

En esta cadena de inclusiones , el grupo p de Prufer se representa como el límite directo de sus subgrupos finitos.

Como módulo, el grupo p de Prufer es artiniano pero no noetheriano (de manera similar, es artiniano pero no noetheriano ). Como tal, es un contraejemplo a la posible afirmación de que cualquier artiniano es un módulo noetheriano. $\matemáticas {Z}$

Enlaces

grupo cuasicíclico (inglés) en el sitio web de PlanetMath .
N. N. Williams. Grupo cuasicíclico en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Jacobson, Nathan. Álgebra básica . - Dover, 2009. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Pierre Antoine Grillet. Álgebra abstracta. - Springer, 2007. - ISBN 978-0-387-71567-4 .
DL Armacost y WL Armacost. Sobre grupos p-téticos (inglés) // Pacific J. Math .. - 1972. - Vol. 41, núm. 2 . - Pág. 295-301.