Geometría definitiva

La geometría finita  es un sistema geométrico que tiene un número finito de puntos . Por ejemplo, la geometría euclidiana no es finita, ya que la recta euclidiana contiene un número ilimitado de puntos, o mejor dicho, contiene exactamente tantos puntos como números reales . Una geometría finita puede tener cualquier número finito de dimensiones .

Las geometrías finitas se pueden describir mediante álgebra lineal como espacios vectoriales y estructuras similares sobre un campo finito , que se denominan geometrías de Galois , o se pueden describir de forma completamente combinatoria . Muchas, pero no todas, las geometrías finitas son de Galois; por ejemplo, cualquier espacio proyectivo de dimensión tres o más es isomorfo a un espacio proyectivo sobre un campo finito (proyectivización de un espacio vectorial sobre un campo finito), en cuyo caso no hay diferencia, pero hay una dimensión de dos planos proyectivos que no son isomorfos a espacios proyectivos sobre campos finitos. Son planos no desarguesianos . Por lo tanto, hay dos diferencias en la dimensión.

Planos finales

Las siguientes observaciones se aplican solo a los planos finales.

Hay dos clases de geometría en el plano: afín y proyectiva . La geometría afín utiliza la noción habitual de líneas paralelas. En geometría proyectiva, por el contrario, dos rectas cualesquiera se cortan en el único punto posible, y por lo tanto no hay rectas paralelas. Tanto la geometría afín finita en el plano como la geometría proyectiva finita en el plano pueden describirse mediante axiomas bastante simples . Una geometría afín en el plano es un conjunto no vacío (cuyos elementos se denominan "puntos"), con un conjunto no vacío de subconjuntos (cuyos elementos se denominan "línea"), tal que:

  1. Para dos puntos distintos, solo hay una línea que contiene ambos puntos.
  2. Axioma de paralelismo de Euclides : Para una línea y un punto que no están en , hay una y sólo una línea que contiene , tal que .
  3. Hay un conjunto de cuatro puntos, de los cuales tres no se encuentran en la misma línea.

El último axioma asegura que la geometría no está vacía, mientras que los dos primeros describen su naturaleza.

El plano afín más simple contiene solo 4 puntos y se llama plano afín de segundo orden . Cada par de puntos define una única recta, por lo que el plano indicado contiene 6 rectas. Esto es análogo a un tetraedro , en el que los bordes que no se intersecan se consideran "paralelos", o un cuadrado, en el que no solo los lados opuestos se consideran paralelos, sino que las diagonales también se consideran paralelas.

De manera más general, un plano de orden afín finito tiene puntos y líneas; cada línea contiene puntos, y cada punto pertenece a una línea.

Una geometría proyectiva en el plano es un conjunto no vacío (cuyos elementos se denominan "puntos"), junto con un conjunto no vacío de subconjuntos (cuyos elementos se denominan "líneas") tales que:

  1. Para dos puntos diferentes, solo hay una línea que contiene estos puntos.
  2. La intersección de dos líneas distintas contiene exactamente un punto.
  3. Hay un conjunto de cuatro puntos, de los cuales tres no pertenecen a la misma línea.

Los primeros dos axiomas son casi idénticos, excepto que los roles de los puntos y las líneas han cambiado: esto lleva al principio de dualidad de la geometría proyectiva en el plano, es decir, podemos suponer que el enunciado correcto sigue siendo verdadero si reemplazamos los puntos con rectas y rectas con puntos.

Dado que el tercer axioma requiere la existencia de al menos cuatro puntos, el plano debe contener al menos 7 puntos para satisfacer las condiciones de los dos primeros axiomas. Este plano proyectivo más simple también tiene 7 líneas; cada punto pertenece a tres líneas, y cada línea contiene tres puntos. Tal plano proyectivo a menudo se denomina " plano de Fano ". Si alguna de las rectas se elimina del plano junto con los puntos que le pertenecen, entonces como resultado obtenemos un plano afín de segundo orden. Por esta razón, el plano de Fano se denomina plano proyectivo de segundo orden.

En el caso general, el plano de orden proyectivo tiene puntos e igual número de líneas (según el principio de dualidad mencionado anteriormente). Cada línea contiene puntos, y cada punto pertenece a una línea.

Una permutación de los siete puntos del plano de Fano que transporta puntos colineales (aquellos que se encuentran en la misma línea) a puntos colineales se denomina " simetría " del plano. El grupo de simetría completa tiene orden 168 y es isomorfo al grupo PSL(2,7) = PSL(3,2), y al grupo lineal general GL(3,2).

Órdenes de aviones

Un plano de orden finito  es un plano de este tipo, cada línea del cual tiene un punto (para un plano afín), o cada línea del cual tiene un punto (para un plano proyectivo). Para la geometría finita, la siguiente pregunta importante permanece abierta:

¿El orden de un plano finito es siempre una potencia de un número primo ?

Se supone hipotéticamente que la respuesta a esta pregunta es sí, pero esto sigue sin probarse.

Los planos de orden afín y proyectivo existen siempre que sea potencia de un número primo y provengan de un cuerpo finito con elementos. También existen planos que no se originan a partir de campos finitos. El plano más pequeño tiene orden 9 [1] .

Todos los ejemplos conocidos son del orden de una potencia de un número primo; la hipótesis de que esto es cierto se confirma en varios casos especiales. El mejor resultado en esta dirección es el teorema de Bruck-Reiser [2] , que establece: si hay un número entero positivo que tiene la forma o y no es igual a la suma de dos cuadrados, entonces no es el orden de el plano finito.

En virtud del teorema de Fermat-Euler, la potencia de un número primo no puede satisfacer los requisitos del teorema de Bruck-Reiser. El entero más pequeño que no es potencia de un número primo y no cumple los requisitos del teorema de Brooke-Reiser es 10. El número 10 tiene la forma , pero es igual a la suma de cuadrados . La inexistencia de un plano finito de orden 10 fue demostrada por una computadora en 1989.

El siguiente número más pequeño que puede no ser del orden de un plano finito es 12, para el cual las suposiciones aún no se han probado, pero tampoco se han refutado.

Notas

  1. ↑ Matemáticas discretas usando cuadrados latinos . — John Wiley & Sons, 17 de septiembre de 1998. - S. 146. - 336 pág. Archivado el 27 de abril de 2021 en Wayback Machine .
  2. ↑ Bruck, RH & Ryser, HJ (1949), La inexistencia de ciertos planos proyectivos finitos , Canadian Journal of Mathematics Vol . 1: 88–93 , DOI 10.4153/cjm-1949-009-2 

Literatura

Enlaces