Avion fano

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El plano de Fano es un plano proyectivo finito de orden 2, que tiene el menor número posible de puntos y rectas (7 puntos y 7 rectas), con tres puntos en cada recta y tres rectas que pasan por cada punto. Nombrado en honor al matemático italiano Gino Fano .

Coordenadas homogéneas

El plano de Fano se puede construir usando álgebra lineal como un plano proyectivo sobre un campo finito con dos elementos. Uno puede construir planos proyectivos sobre cualquier otro campo finito de la misma manera, pero el plano de Fano será el más pequeño.

Usando la construcción estándar de espacios proyectivos con coordenadas homogéneas , los siete puntos del plano de Fano se pueden etiquetar con los siete triples distintos de cero de dígitos binarios 001, 010, 011, 100, 101, 110 y 111. Para cualquier par de puntos pyq , se rotula el tercer punto de la recta pq , obtenido a partir de las rotulaciones pyq por adición módulo 2; por ejemplo 110+011=101. En otras palabras, los puntos del plano de Fano corresponden a puntos distintos de cero de un espacio vectorial finito de dimensión 3 sobre un campo finito de orden 2.

Según esta construcción, el plano de Fano se considera desarguesiano, aunque el plano es demasiado pequeño para contener una configuración de Desargues no degenerada (requiere 10 puntos y 10 líneas).

A las líneas del plano de Fano también se les pueden asignar coordenadas homogéneas, nuevamente usando tripletes distintos de cero de dígitos binarios. En este sistema, un punto es incidente en una línea si las coordenadas del punto y las coordenadas de la línea tienen un número par de posiciones en las que ambas coordenadas son bits distintos de cero. Por ejemplo, el punto 101 pertenece a la línea 111 porque tanto la línea como el punto tienen bits distintos de cero en dos posiciones comunes. En términos de álgebra lineal, un punto pertenece a una línea si el producto escalar de los vectores que representan el punto y la línea es cero.

Las líneas rectas se pueden dividir en tres tipos.

En tres líneas rectas, los códigos binarios de los puntos tienen 0 en una posición constante. Entonces, en la línea 100 (que contiene los puntos 001, 010 y 011) todos los puntos tienen 0 en la primera posición. Las rectas 010 y 001 tienen la misma propiedad.
En tres rectas, el código binario de puntos tiene el mismo valor en dos posiciones. Así, en la línea 110 (que contiene los puntos 001, 110 y 111), los valores de la primera y segunda posición (coordenadas) de los puntos son siempre los mismos. Las rectas 101 y 011 tienen una propiedad similar.
En la línea restante 111 (que contiene los puntos 011, 101 y 110) cada código tiene exactamente dos bits distintos de cero.

Simetrías

Las permutaciones de los siete puntos del plano de Fano que conservan la incidencia de los puntos (de una recta), es decir, cuando un punto que está sobre una recta pasa a estar en la misma recta, se denomina "colineación", " automorfismo ", o " simetría " del plano. Un grupo de colineación completo (o grupo de automorfismos o grupo de simetría ) es el grupo lineal proyectivo PGL(3,2) [1] , que en este caso es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) = PSL(3 ,2) y el grupo lineal completo GL(3,2) (que es igual a PGL(3,2) ya que el campo tiene solo un elemento distinto de cero). El grupo consta de 168 permutaciones diferentes.

El grupo de automorfismos consta de 6 clases de conjugación .
Todas las estructuras cíclicas , excepto un ciclo de longitud 7, definen de forma única una clase de conjugación:

La permutación idéntica.
21 permutación de dos ciclos de 2 .
42 permutaciones de 4 ciclos y 2 ciclos.
56 permutaciones de 3 ciclos.

48 permutaciones con un ciclo completo de longitud 7 forman dos clases de conjugación con 24 elementos cada una:

A va a B , B a C , C a D. En este caso, D se encuentra en la misma línea que A y B.
A va a B , B a C , C a D. En este caso, D se encuentra en la misma línea que A y C.

Debido al teorema de Redfield-Polyi, el número de coloraciones no equivalentes del plano de Fano en n colores es:

{1 \over 168}\left(n^{7}+21n^{5}+98n^{3}+48n\right).

Configuraciones

El plano de Fano contiene las siguientes configuraciones diferentes de puntos y líneas. Para cada tipo de configuración, el número de copias de la configuración, multiplicado por el número de simetrías planas en las que se conserva la configuración, es 168, el tamaño de todo el grupo de simetrías.

Hay 7 puntos y 24 simetrías que conservan estos puntos.
Hay 7 líneas y 24 simetrías que conservan estas líneas.
Hay 7 opciones para elegir un cuadrilátero de cuatro puntos (no ordenados), de los cuales tres no se encuentran en la misma línea, y 24 simetrías que conservan dicho cuadrilátero. Estos cuatro puntos forman el complemento de la línea, que es la diagonal del cuadrilátero.
Hay 21 pares desordenados de puntos, cada uno de los cuales puede traducirse por simetría en cualquier otro par desordenado. Por cada par desordenado, hay 8 simetrías que lo conservan.
Hay 21 banderas , que consisten en una línea y un punto en ella. Cada bandera corresponde a un par desordenado de otros puntos en la misma línea. Para cada bandera, hay 8 simetrías diferentes que la preservan.
Hay 28 triángulos que se corresponden uno a uno con 28 cuárticas de doble tangente [2] . Para cada triángulo, hay seis simetrías que lo preservan, una para cada permutación de puntos dentro del triángulo.
Hay 28 formas de elegir un punto y una línea que no son incidentes entre sí ( anti-bandera ), y seis formas de reorganizar el plano de Fano que conservan la anti-bandera. Para cualquier par de puntos no incidentes y una línea ( p , l ), tres puntos que no son iguales a p y que no pertenecen a l forman un triángulo, y para cualquier triángulo existe una forma única de agrupar los cuatro puntos restantes en una antibandera .
Hay 28 formas de construir un hexágono en el que no hay tres vértices consecutivos en la misma línea y seis simetrías que conservan dicho hexágono.
Hay 42 pares ordenados de puntos y, de nuevo, cada uno puede traducirse por simetría en cualquier otro par ordenado. Para pares ordenados, hay 4 simetrías que lo conservan.
Hay 42 formas de elegir un cuadrilátero de cuatro puntos ordenados cíclicamente , tres de los cuales no se encuentran en la misma línea, y cuatro simetrías que conservan cualquier cuadrilátero ordenado. Para cualquier cuádruple no dirigido, hay dos órdenes cíclicos.
Hay 84 formas de elegir un triángulo con un punto en ese triángulo, y para cada elección hay dos simetrías que preservan esa elección.
Hay 84 formas de elegir un pentágono , de modo que no haya tres vértices consecutivos en la misma línea, y dos simetrías que conservan cualquier pentágono.
Hay 168 formas diferentes de elegir un triángulo con el orden de sus tres vértices, y solo una simetría de identidad que conserva esta configuración.

Construcciones de teoría de grupos

7 puntos del plano corresponden a 7 elementos no identitarios del grupo ( Z 2 ) 3 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Los planos rectos corresponden a subgrupos de orden 4 isomorfos a Z 2 × Z 2 . El grupo de automorfismos GL(3,2) del grupo ( Z 2 ) 3 es el grupo de isomorfismos del plano de Fano y tiene orden 168.

Diagramas de flujo

El plano de Fano es un pequeño diagrama de bloques simétrico , es decir, un diagrama 2-(7,3,1). Los puntos de circuito son puntos planos y los bloques de circuito son líneas planas. Así, el plano de Fano es un ejemplo importante de la teoría de diagramas de flujo.

Teoría matroide

El plano de Fano es un ejemplo importante en la teoría matroide . La exclusión del plano de Fano como matroide menor es necesaria para describir algunas clases importantes de matroides, como las matroides regulares , gráficas y cográficas.

Si una línea se divide en tres líneas de dos puntos, obtenemos una "configuración sin ventilador" que se puede incrustar en el plano real. Este es otro ejemplo importante de la teoría de matroides que debe eliminarse para que se cumpla una gran cantidad de teoremas.

Sistema de Steiner

El plano de Fano, al ser un diagrama de bloques, es un sistema de triples de Steiner . Y en este caso, se le puede dar la estructura de un cuasigrupo . Este cuasigrupo coincide con la estructura multiplicativa definida por unidades de octoniones e 1 , e 2 , …, e 7 (sin 1) si se ignoran los signos del producto de octoniones [3] .

Espacio divertido en 3D

El plano de Fano se puede extender al caso 3D para formar el espacio proyectivo 3D más pequeño, y esto se denota como PG(3,2). Tiene 15 puntos, 35 líneas y 15 planos.

Cada plano contiene 7 puntos y 7 líneas.
Cada línea contiene 3 puntos.
Los planos son isomorfos al plano de Fano.
Cada punto pertenece a 7 líneas.
Cada par de puntos distintos pertenece exactamente a una línea.
Cualquier par de planos distintos se cortan exactamente en una línea recta.

Véase también

Notas

↑ De hecho, este es el grupo PΓL(3,2), pero un campo finito de orden 2 no tiene un automorfismo no idéntico, el grupo se convierte en PGL(3,2).
↑ Manivel, 2006 , pág. 457–486.
↑ Báez, 2002 , p. 145–205.

Literatura

Juan Báez. Los Octoniones. - Toro. amer Matemáticas. Soc.. - 2002. - T. 39. - doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . ( Versión HTML en línea Archivado el 9 de octubre de 2008 en Wayback Machine )
JH van Lint, RM Wilson. Un curso de combinatoria . - Cambridge University Press, 1992. - S. 197 .
L.Manivel. Configuraciones de líneas y modelos de álgebras de Lie // Journal of Algebra. - 2006. - T. 304 , núm. 1 . — ISSN 0021-8693 . -doi : 10.1016/ j.jalgebra.2006.04.029 .
Burkard Polster (1998) Un libro de imágenes geométricas , Capítulo 1: "Introducción a través del plano de Fano", también págs. 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer ISBN 0 -387-98437-2 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Fano Plane (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Plano finito y plano Fano . Archivado el 1 de marzo de 2017 en Wayback Machine en PlanetMath.