PSL(2,7)

En matemáticas , el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, 7) (isomorfo a GL(3, 2) ) es un grupo simple finito con importantes aplicaciones en álgebra , geometría y teoría de números . Es el grupo de automorfismos de la cuártica de Klein y también el grupo de simetría del plano de Fano . Con 168 elementos, PSL(2, 7) es el segundo más pequeño de los grupos simples no abelianos más pequeños (siendo el primero el grupo alternante A 5 de cinco letras y con 60 elementos, el grupo de rotación de simetría icosaédrica ).

Definición

El grupo lineal completo GL(2, 7) consta de todas las matrices invertibles de 2×2 sobre F 7 , un campo finito de siete elementos, es decir, que tiene determinantes distintos de cero. El subgrupo SL(2, 7) está formado por todas las matrices con determinante unitario . Así PSL(2, 7) es un grupo de factores

SL(2, 7)/{I, −I},

obtenido al identificar I y −I, donde I es la matriz identidad . En este artículo, entendemos por G cualquier grupo isomorfo a PSL(2, 7).

Propiedades

G = PSL(2, 7) tiene 168 elementos. Esto se puede ver contando las posibles columnas. Hay 7 2 −1 = 48 posibilidades para la primera columna, 7 2 −7 = 42 posibilidades para la segunda columna. Tenemos que dividir por 7−1 = 6 para que el determinante sea igual a uno, y luego tenemos que dividir por 2 cuando identificamos I y −I. El resultado es (48x42)/(6x2) = 168.

Es bien sabido que PSL( n , q ) es primo para n , q ≥ 2 (donde q es alguna potencia de un primo) a menos que ( n , q ) = (2, 2) o (2, 3). PSL(2, 2) es isomorfo al grupo simétrico S 3 , y PSL(2, 3) es isomorfo al grupo alternante A 4 . De hecho, PSL(2, 7) es el segundo grupo simple no abeliano más grande después del grupo alterno A 5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

El número de clases de conjugación y el número de representaciones irreducibles es 6. El número de clases es 1, 21, 42, 56, 24, 24. Las dimensiones de las representaciones irreducibles son 1, 3, 3, 6, 7, 8.

tabla de personajes

{\begin{matriz}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi_{1}&1&1&1&1&1&1\ \\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4 }&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{matriz}},

dónde:

\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.

La siguiente tabla describe las clases de conjugación en términos del orden de los elementos en las clases, el número de clases, el polinomio mínimo de todas las representaciones en GL(3, 2) y la entrada de la función para la representación en PSL(2, 7).

Ordenar	El tamaño	mín. Polinomio	Función
una	una	x +1	X
2	21	× 2 +1	−1/ x
3	56	× 3 +1	2x _
cuatro	42	x 3 + x 2 + x + 1	1/(3− x )
7	24	x 3 + x + 1	x +1
7	24	x3 + x2 +1 _ _	x + 3

El orden del grupo es 168=3*7*8, lo que implica la existencia de subgrupos de Sylow de orden 3, 7 y 8. Es fácil describir los dos primeros - son cíclicos, ya que cualquier grupo con un orden primo es cíclico . Cualquier elemento de la clase de conjugación 3 A 56 forma un 3-subgrupo de Sylow. Cualquier elemento de las clases de conjugación 7 A 24 , 7 B 24 forma un subgrupo 7 de Sylow. Un subgrupo de Sylow 2 es un grupo diédrico de orden 8 . Puede describirse como un centralizador de cualquier elemento de la clase de conjugación 2 A 21 . En la representación GL(3, 2), un subgrupo 2 de Sylow consta de matrices triangulares superiores.

Este grupo y su subgrupo 2 de Sylow proporcionan un contraejemplo para varios teoremas del complemento p normal para p = 2.

Acciones sobre espacios proyectivos

G = PSL(2, 7) actúa mediante una transformación lineal-fraccional sobre la línea proyectiva P 1 (7) sobre un campo de 7 elementos:

para y $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)))$ $x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d))$

Cada automorfismo que conserva la orientación de la línea P 1 (7) se obtiene de esta manera, y entonces G = PSL(2, 7) puede entenderse geométricamente como el grupo de simetría de la línea proyectiva P 1 (7). El grupo completo de posibles automorfismos que conservan la orientación es una extensión de orden 2 del grupo PGL(2, 7) y el grupo de colineación la línea proyectiva es el grupo simétrico completo de puntos.

Sin embargo, PSL(2, 7) también es isomorfo al grupo PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), un grupo lineal especial (general) de matrices de 3×3 sobre un campo de 2 elementos. De manera similar, G = PSL(3, 2) actúa sobre el plano proyectivo P 2 (2) sobre un campo de 2 elementos, también conocido como plano de Fano :

para y $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)$ $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Nuevamente, cualquier automorfismo P 2 (2) se obtiene de esta manera, y entonces G = PSL(3, 2) puede entenderse geométricamente como el grupo de simetría de este plano proyectivo. El plano de Fano se puede describir como el producto de octoniones .

Simetrías de la cuártica de Klein

La cuártica de Klein es una variedad proyectiva sobre los números complejos C , definida por un polinomio de cuarto grado

x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0.

Es una superficie de Riemann compacta del género g = 3 y es la única superficie de este tipo para la que el tamaño del grupo de automorfismo conforme alcanza un máximo de 84 ( g −1). Este límite surge del teorema del automorfismo de Hurwitz , que se cumple para todo g >1. Tales " superficies de Hurwitz " son raras. El siguiente género para el que existe tal superficie es g = 7, y el siguiente es g = 14.

Al igual que con todas las superficies de Hurwitz , a las cuárticas de Klein se les puede dar una métrica de curvatura negativa constante y luego teselarlas con heptágonos regulares (hiperbólicos) , como un espacio factorial de una teselación heptagonal de orden 3 . Para el cuartico de Klein, esto da un mosaico de 24 heptágonos. Dualmente, se puede teselar por 56 triángulos equiláteros con 24 vértices, cada uno de orden 7, como espacio factorial de un teselado triangular de orden 7 .

La cuártica de Klein aparece en muchas áreas de las matemáticas, incluida la teoría de la representación, la teoría de la homología, la multiplicación de octoniones, el último teorema de Fermat .

Grupo Mathieu

PSL(2, 7) es un subgrupo máximo del grupo de Mathieu M 21 . Los grupos de Mathieu M 21 y M 24 se pueden construir como extensiones de PSL(2, 7). Estas extensiones se pueden interpretar en términos de mosaicos cuárticos de Klein, pero no se pueden realizar mediante simetrías de mosaicos geométricos [1] .

Acciones de grupo

PSL(2, 7) actúa sobre diferentes conjuntos:

Si se interpreta como automorfismos lineales de la línea proyectiva sobre F 7 , actúa 2-transitivamente sobre un conjunto de 8 puntos con un estabilizador de orden 3. (PGL(2, 7) actúa estrictamente 3-transitivamente con un estabilizador trivial.)
Interpretado como automorfismos del teselado cuártico de Klein, actúa transitivamente sobre 24 vértices (o, dualmente, sobre 24 heptágonos) con un estabilizador de orden 7 (correspondiente a la rotación alrededor de un vértice/heptágono).
Si se interpreta como un subgrupo del grupo Mathieu M 21 que actúa sobre 21 puntos, no actúa transitivamente sobre 21 puntos.

Notas

↑ Richter .

Literatura

David A. Richter. Cómo hacer el Grupo Mathieu M 24 .

Para leer más

Ezra Brown, Nicholas Loehr. ¿Por qué es PSL(2.7)≅GL(3.2)? // Soy. Matemáticas. lun.. - 2009. - T. 116 , núm. 8 _ — S. 727–732 . -doi : 10.4169 / 193009709X460859 .