Plano no desarguesiano

Un plano no desarguesiano  es un plano proyectivo que no satisface el teorema de Desargues , es decir, no es desarguesiano . El teorema de Desargues es cierto en todos los espacios proyectivos de dimensión distinta de 2 [1] , es decir, para todas las geometrías proyectivas clásicas sobre un campo (o anillo de división ), pero Hilbert descubrió que algunos planos proyectivos no satisfacían el teorema.

Ejemplos

Algunos ejemplos son las geometrías finitas . Para un plano proyectivo finito , el orden es uno menos que el número de puntos en la línea (esta es una constante para todas las líneas). Algunos ejemplos de planos no desarguesianos:

Clasificación

Según Weibel [3] , H. Lenz dio un esquema de clasificación para planos proyectivos en 1954 [4] y A. Barlotti lo desarrolló más en 1957 [5] . Este esquema de clasificación se basa en los tipos de transitividad punto-línea permitidos por el grupo de colineación del plano y se conoce como clasificación del plano proyectivo de Lenz-Barlotti . En el libro de Dembowski [6] se da una lista de 53 tipos . En la página 126 del libro se encuentra una tabla de resultados de existencia conocida (para grupos de colineación y planos que tienen tales grupos de colineación) para los casos finito e infinito. Según Weibel, "36 de ellos existen como grupos finitos . 7 a 12 existen como planos proyectivos finitos y 14 o 15 existen como planos proyectivos infinitos".

Hay otros esquemas de clasificación. Uno de los esquemas más simples se basa en el tipo de anillo ternario plano , que se puede utilizar para introducir coordenadas en el plano proyectivo. Estos tipos son campos , campos sesgados , campos sesgados alternativos , semicampos , campos cercanos [en] , campos cercanos derechos [en ] , cuasicampos [ ] y [ en ] 7] .

Secciones cónicas

En el plano proyectivo desarguesiano , la sección cónica se puede definir de varias formas equivalentes. En planos no desarguesianos, las pruebas de equivalencia resultan erróneas y diferentes definiciones pueden dar objetos no equivalentes [8] . Ostrom T. G. propuso el nombre concoide para estas figuras similares a las secciones cónicas, pero no dio una definición formal y el término, aparentemente, no fue muy utilizado [9] .

Hay varias formas de definir secciones cónicas en planos desarguesianos:

  1. El conjunto de puntos absolutos [10] de polaridad se conoce como sección cónica de von Staudt . Si el plano se define sobre un campo de característica dos, solo obtenemos secciones cónicas degeneradas .
  2. El conjunto de puntos de intersección de las líneas correspondientes de dos lápices que están conectados proyectivamente pero no en perspectiva se conoce como la cónica de Steiner . Si las vigas están acopladas en perspectiva, la sección transversal es degenerada.
  3. El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación homogénea irreducible de segundo grado.

Además, en el plano desarguesiano finito:

  2. Un conjunto de q + 1 puntos, de los cuales tres no son colineales en PG(2, q ), se llama óvalo . Si q es impar, el óvalo es una cónica en el sentido del punto 3 anterior.
  3. La sección cónica de Ostrom se basa en generalizaciones de conjuntos armónicos.

Artzi dio un ejemplo de secciones cónicas de Steiner en el plano de Moufang, que no son secciones de von Staudt [11] . Garner dio un ejemplo de una sección cónica de von Staudt que no es una sección cónica de Ostrom en un plano finito de un semicampo [8] .

Notas

  1. ↑ El teorema de Desargues es trivial pero sin sentido cierto en la dimensión 1. El problema surge solo en la dimensión 2.
  2. ↑ ver Room y Kirkpatrick ( 1971 ) para una descripción de los cuatro planos de orden 9.
  3. ↑ Weibel, 2007 , pág. 1296.
  4. ↑ Lenz, 1954 , pág. 20–31.
  5. ↑ Barlotti, 1957 , pág. 212–226.
  6. ↑ Dembowski, 1968 , pág. 124-5.
  7. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , pág. 723, artículo sobre geometría finita de Leo Storm.
  8. ↑ 12 Garner , 1979 , pág. 132–138.
  9. ↑ Ostrom, 1981 , pág. 175–196.
  10. ↑ En un espacio con polaridad (asignación de puntos a líneas de orden dos con preservación de la incidencia), un punto es absoluto si se encuentra sobre su imagen y una línea es absoluta si pasa a través de su imagen (punto).
  11. ↑ Artzy, 1971 , pág. 30–35.

Literatura