Grupo abeliano finitamente generado

Un grupo abeliano finitamente generado es un grupo abeliano dado por un sistema finito de generadores , es decir, un grupo conmutativo para el cual existe un conjunto finito tal que existe una representación: ${\ estilo de visualización (G, +)}$ $x_{1},\puntos,x_{s}\en G$ ${\ estilo de visualización \ para todas las x \ en G}$

{\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\puntos +n_{s}x_{s))

donde están los números enteros. ${\displaystyle n_{1},\puntos,n_{s))$

Los grupos abelianos generados finitamente tienen una estructura relativamente simple y pueden clasificarse completamente; la capacidad de reducir la consideración de ciertos objetos a ellos se considera valiosa. Los ejemplos son números enteros y módulos de números , cualquier suma directa de un número finito de grupos abelianos generados finitamente también es un grupo abeliano generado finitamente. De acuerdo con el teorema de clasificación , no hay otros (excepto el isomorfismo) grupos abelianos finitamente generados. Por ejemplo, el grupo de números racionales no se genera finitamente: si hubiera un sistema generador , entonces sería suficiente tomar un número natural coprimo con todos los denominadores de los números del sistema para obtener , no generado por el sistema . ${\ estilo de visualización (\ mathbb {Z}, +)}$ ${\ estilo de visualización (\ mathbb {Z} _ {n}, +)}$ ${\ estilo de visualización (\ matemáticas {Q}, +)}$ $x_{1},\dots,x_{s}\en \mathbb {Q}$ $w$ ${\ estilo de visualización 1/w}$ ${\ estilo de visualización \ {x_ {1}, \ puntos, x_ {s} \}}$

Clasificación

El teorema de clasificación para grupos abelianos finitamente generados (que es un caso especial de la clasificación de módulos finitamente generados sobre el dominio de los ideales principales ) establece que cualquier grupo abeliano finitamente generadoes isomorfo a la suma directa de grupos cíclicos simples y grupos cíclicos infinitos , donde un grupo cíclico simple es un grupo cíclico cuyo orden es un número primo de potencia. ¿Qué significa que cada uno de esos grupos es isomorfo a un grupo de la forma: $GRAMO$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}}

donde , y los números son (no necesariamente diferentes) potencias de números primos. Los valores están determinados unívocamente (hasta el orden) por el grupo ; en particular, es finito si y solo si . $n \geqslant 0$ ${\displaystyle m_{1},\puntos,m_{t))$ ${\displaystyle n,m_{1},\dots,m_{t))$ $GRAMO$ $GRAMO$ $n=0$

Basado en el hecho de que es isomorfo a un producto y si y solo si y son coprimos y , también podemos representar cualquier grupo finitamente generado en forma de suma directa $G_{m}$ ${\ Displaystyle G_ {j}}$ ${\ Displaystyle G_ {k}}$ $j$ $k$ ${\ estilo de visualización m = jk}$ $GRAMO$

\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z}_{k_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z}_{k_{u}}

donde divide , cual divide y así sucesivamente hasta . Y de nuevo, los números y son dados únicamente por el grupo . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$ $norte$ ${\displaystyle k_{1},\puntos,k_{u))$ $GRAMO$

Literatura

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Capitulo dos. Grupos // Álgebra General / Bajo el general. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 pág. — (Biblioteca matemática de referencia). — 30.000 copias. — ISBN 5-02-014426-6 .