Continuo (teoría de conjuntos)

El continuo en la teoría de conjuntos es la potencia (o número cardinal ) del conjunto de todos los números reales . [1] Denotado por una letra latina minúscula c en el estilo de fractura : . Un conjunto que tiene la cardinalidad de un continuo se llama conjunto continuo [2] . $\mathfrak{c}$

Además, el término "continuo" puede significar el conjunto de números reales en sí mismo, o incluso cualquier conjunto continuo.

Propiedades

El continuo es la potencia del booleano de un conjunto contable .
Como la cardinalidad del booleano de un conjunto contable, el continuo es una cardinalidad infinita [3] que excede la cardinalidad contable . En la teoría de conjuntos con el axioma de elección , el continuo, como cualquier cardinalidad infinita, es un alef , y, cuando el número ordinal del continuo en la serie de alefs se denota con la letra ( ), , es decir, . $\zeta$ ${\mathfrak {c}}=\aleph_{\zeta}$ ${\ estilo de visualización \ zeta > 0}$ $\aleph _{0}<\aleph _{1}\leq \aleph _{\zeta}={\mathfrak {c}}$
En la serie de booleanos infinitos [4] el continuo . ${\ estilo de visualización \ gimel _ {\ xi}}$ ${\mathfrak{c}}=\gimel _{1}$
La suposición de que no hay potencias intermedias entre lo contable y el continuo se llama hipótesis del continuo . En teoría de conjuntos con el axioma de elección, se formula como o o , donde es el número previamente introducido del continuo en la serie de alefs. La hipótesis del continuo generalizado se formula como para cualquier ordinal . $\mathfrak{c} = \aleph_1$ ${\ estilo de visualización \ gimel _ {1} = \ aleph _ {1}}$ $\zeta=1$ $\zeta$ ${\ estilo de visualización \ gimel _ {\ xi} = \ aleph _ {\ xi}}$ $\xi$
Un grado cartesiano contable de un continuo es un continuo: , y, por lo tanto, cualquier grado cartesiano finito distinto de cero [5] de un continuo también es un continuo: . ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ $(\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}){\mathfrak {c}}^{n}={\mathfrak {c}}$
En la teoría de conjuntos con el axioma de elección, la cardinalidad de la unión de como máximo una familia de conjuntos continuos, cada uno de los cuales es en sí mismo como máximo un continuo, no excede el continuo, es decir, es regular. $\aleph _{\zeta +1}={\mathfrak {c}}^{+}$
La cardinalidad de una unión de familias como máximo contables de conjuntos como máximo contables es como máximo contable, es decir, la sección [6] de una clase de potencias (como un gran [7] orden parcial ), cuya clase inferior es a lo sumo potencias contables, es insuperable “según Pitágoras ” [8] , es decir, en teoría de conjuntos con el axioma de elección es regular. Como consecuencia, el continuo (así como ) es inalcanzable "según Pitágoras" a partir de no más que potencias contables: no se puede obtener combinando no más que un número contable de no más que numerables. $\aleph_1$ $\aleph_1$
Al dividir un conjunto continuo en un número finito o contable de partes, al menos una de las partes tendrá la cardinalidad de un continuo. Como consecuencia, en la teoría de conjuntos con el axioma de elección, la confinalidad del continuo es incontable.

Origen del término

Los órdenes continuos ("continuos") de más de un punto , es decir, los órdenes con una topología natural conectada , se denominaron originalmente continuos . En términos de orden propiamente dicho, esto significa que cualquier sección del mismo es Dedekind .

El continuo como un todo puede o no tener elementos mínimos y máximos, es decir, sus extremos pueden ser tanto "abiertos" como "cerrados".

El continuo mínimo (es decir, contenido en cualquier continuo) es la línea real (con extremos abiertos y cerrados).

Cualquier orden puede completarse en un continuo, lo que implica que los continuos pueden tener cardinalidades indefinidamente grandes . En la serie cardinal , se denotan por , donde es el número ordinal del continuo. ${\mathfrak{c}}_{\xi}$ $\xi$

La terminación mínima del orden hasta el continuo se construye llenando las ranuras con puntos adicionales, y los saltos con segmentos (0, 1) sin extremos.

Posteriormente, el término "continuo", habiendo ido más allá de los límites de las consideraciones ordinales específicas, en la teoría de conjuntos (y después de ella, en el resto de las matemáticas) se redujo a la línea real adecuada, y el "poder del continuo" se convirtió en, en consecuencia, su poder. En el futuro, el poder mismo del continuum comenzó a llamarse "continuum" . En topología, por otro lado, este término se ha extendido a cualquier topología de Hausdorff compacta conexa (conjunto compacto conexo), independientemente de si la topología dada es de origen de orden, mientras que algunos continuos en el sentido antiguo (por ejemplo, una línea real con los extremos abiertos) ya no se consideran como tales debido a la pérdida de compacidad. En la actualidad, el uso del término "continuum" en su sentido original se encuentra principalmente solo en literatura relativamente antigua. ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}_{0}$ $\mathfrak c$

Ejemplos

Ejemplos de conjuntos con cardinalidad continua:

Todos los puntos de la recta real (el conjunto de los números reales ). $(-\infty,+\infty)$ $\matemáticas {R}$
Todos los puntos del segmento . $[0, 1]$
Todos los puntos del plano (o espacio ‑dimensional , ). $\matemáticas {R} ^{2}$ $norte$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización n \ neq 0}$
El conjunto de todos los números irracionales .
El conjunto de todos los números trascendentales .
El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto contable.
El conjunto de todos los órdenes parciales en un conjunto contable.
El conjunto de todos los conjuntos contables de los números naturales .
El conjunto de todos los conjuntos contables de números reales .
El conjunto de todas las funciones continuas . $\R \a \R$
El conjunto de todos los subconjuntos abiertos del plano (o ). $\matemáticas {R} ^{2}$ $\mathbb{R} ^{n}$
El conjunto de todos los subconjuntos cerrados del plano (o ). $\matemáticas {R} ^{2}$ $\mathbb{R} ^{n}$
El conjunto de todos los subconjuntos de Borel del plano (o ). $\matemáticas {R} ^{2}$ $\mathbb{R} ^{n}$
conjunto cantor

Notas

↑ Khinchin A. Ya. Ocho conferencias sobre análisis matemático. - M.-L., Gostekhizdat, 1948. - p. once
↑ Guía de matemáticas Kurinnaya G. Ch.
↑ Ver conjunto infinito .
↑ Una serie de booleanos infinitos se define como ; ; . ${\ estilo de visualización \ gimel _ {0} = \ aleph _ {0}}$ $\gimel_{\xi +1}=|{\mathcal {P))(\gimel_{\xi})|$ ${\ estilo de visualización \ gimel _ {\ sup u} = \ sup _ {\ xi \ in u} \ gimel _ {\ xi}}$
↑ Ver conjunto finito .
↑ División del preorden de insectos en dos clases separadas: superior e inferior. Cualquier elemento menor o igual que cualquiera de los inferiores está él mismo en el inferior, mayor o igual que cualquiera de los superiores, está él mismo en el superior. Si alguna de las clases está vacía, la sección es impropia.
↑ se supone que se utiliza alguna forma de resolver las complejidades formales asociadas a los objetos grandes: teorías con clases, inmersión en un conjunto universal, etc.
↑ Él mismo dijo: la unidad genera existencia, el dos - un conjunto indefinido.