Lema de Gauss sobre la reducibilidad de polinomios

El lema de Gauss es una afirmación sobre las propiedades de los polinomios sobre anillos factoriales , que se probó por primera vez para polinomios sobre el anillo de números enteros . Es ampliamente utilizado en la teoría de anillos y campos, en particular, para probar la factorialidad de un anillo polinomial sobre un anillo factorial y el teorema de Luroth .

Redacción

Sea un anillo factorial (por ejemplo, el anillo de los enteros). Entonces las siguientes dos afirmaciones son verdaderas: $R$

Sea irreducible (y por lo tanto simplemente ) en y divide todos los coeficientes del producto Entonces también divide todos los coeficientes de un polinomio o un polinomio En particular, si son polinomios primitivos (un polinomio se llama primitivo si el máximo común divisor de sus coeficientes es invertible , es decir, asociado a la unidad ), entonces el polinomio también es primitivo; $a\en R,\;\;\;f,g\en R[x],$ $a$ $R$ ${\ estilo de visualización f (x) g (x).}$ $a$ $f(x),$ ${\ estilo de visualización g (x).}$ ${\ estilo de visualización f (x), g (x)}$ $f(x)g(x)$
Si es un campo de anillos parciales y si el polinomio es irreducible en el anillo, entonces es irreducible en el anillo Además, si el polinomio es primitivo, entonces lo contrario también es cierto. $q$ $R,$ ${\ estilo de visualización R [x],}$ $Q[x].$ ${\ estilo de visualización R [x],}$

Ambas declaraciones siguen siendo verdaderas si, en lugar de anillos factoriales , consideramos regiones de integridad , en las que dos elementos cualesquiera tienen el máximo común divisor .

Prueba (para anillos factoriales)

Probemos que si un elemento simple del anillo es un divisor común de los coeficientes , entonces divide o todos los coeficientes o todos los coeficientes . $pags$ $R$ $f(x)g(x)$ $f(x),$ $g(x)$

Sean , , los grados de estos polinomios. ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ ${\displaystyle g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m))$ $n=\operatorname {grados} f,m=\operatorname {grados} g$

Supongamos que, en el agregado, ni los coeficientes ni los dividen, entonces existen mínimos para los cuales y $pags$ ${\ estilo de visualización f (x),}$ ${\ estilo de visualización g (x).}$ $yo, j$ ${\displaystyle p\nmid a_{i))$ $p\nmid b_{j}.$

El coeficiente en un elemento del grado de un polinomio tiene la forma: ${\ estilo de visualización i + j}$ $f(x)g(x)$

\sum_{k<i}a_{k}b_{i+jk}+a_{i}b_{j}+\sum_{l<j}a_{i+jl}b_{l}.

De acuerdo con la elección , el elemento divide todos los términos de esta suma, excepto los que por su simplicidad y factorialidad no divide, por lo tanto, no divide toda la suma, que es uno de los coeficientes del polinomio, y llegamos a una contradicción. Una consecuencia inmediata de este punto es que si son primitivos, entonces su producto también es un polinomio primitivo. $yo, j$ $pags$ $a_{i}b_{j},$ $r$ ${\ estilo de visualización f (x), g (x)}$ $f(x)g(x)$

Sea ahora una factorización en el anillo, multiplicando cada uno por un múltiplo común de los denominadores de sus coeficientes, obtenemos que y $f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)$ $Q[x].$ $f_{1}(x),f_{2}(x)$ $af_{1}(x)=h_{1}(x)\en R[x]$ $bf_{2}(x)=h_{2}(x)\en R[x]$ $abf(x)=g_{1}(x)g_{2}(x).$

Cada uno de los divisores primos divide todos los coeficientes y, por lo tanto, todos los coeficientes de uno de los factores polinómicos. Dividiendo por este divisor y repitiendo el proceso un número finito de veces, obtenemos una factorización en el anillo $abdominales$ $g_{1}(x)g_{2}(x),$ $R[x].$

Véase también

teorema de lurot

Literatura

Garling, DJH (1986), Un curso de teoría de Galois , Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3