Área de integridad

La región de integridad (o anillo integral , o región de integridad , o simplemente región ) es un concepto de álgebra conmutativa : un anillo conmutativo asociativo sin divisores cero (el producto de cualquier par de elementos distintos de cero no es igual a 0).

Este artículo sigue la convención de que las regiones de integridad tienen un elemento neutral multiplicativo, generalmente indicado como 1, pero algunos autores no exigen que las regiones de integridad tengan un elemento neutral multiplicativo.

Definición equivalente: un dominio de integridad es un anillo conmutativo en el que el ideal nulo {0} es primo . Cualquier dominio de integridad es un subanillo de su campo cociente .

Ejemplos

El ejemplo más simple de un dominio de integridad es el anillo de enteros . $\matemáticas {Z}$
Cualquier campo es un área de integridad. Por otro lado, cualquier dominio artiniano de integridad es un campo. En particular, todos los dominios de integridad finitos son campos finitos .
El anillo de polinomios con coeficientes de algún anillo integral también es integral. Por ejemplo, el anillo de polinomios en una variable con coeficientes enteros y el anillo de polinomios en dos variables con coeficientes reales serán integrales. El anillo de series de potencias formales con coeficientes del anillo integral también es integral. ${\matemáticas{Z}}[x]$ ${\ matemáticas {R}} [x, y]$
El conjunto de números reales de la forma es un subanillo del campo y, por lo tanto, el dominio de integridad. Lo mismo puede decirse del conjunto de números complejos de la forma , donde y son números enteros (el conjunto de los números enteros de Gauss ). $a+b{\raíz cuadrada {2}}$ $\matemáticas {R}$ $a+bi$ $a$ $b$
Sea un subconjunto abierto conexo del plano complejo . Entonces el anillo de todas las funciones holomorfas será integral. Lo mismo es cierto para cualquier anillo de funciones analíticas definido en un subconjunto conectado de una variedad analítica . $tu$ $\matemáticas {C}$ $H(T)$ $f:U\flecha derecha {\mathbb {C}}$
Si es un anillo conmutativo y es un ideal en , entonces el anillo cociente es integral si y solo si es un ideal primo de . $k$ $yo$ $k$ $k/yo$ $yo$

Divisibilidad, elementos primos e irreducibles

Sean y sean elementos de un anillo integral . Dicen que " divide " o " -divisor " (y escribe ) si y solo si existe un elemento tal que . $a$ $b$ $k$ $a$ $b$ $a$ $b$ $a \ medio b$ $x\en K$ $hacha=b$

La divisibilidad es transitiva : si divide y divide , entonces divide . Si divide y , entonces también divide su suma y diferencia . $a$ $b$ $b$ $C$ $a$ $C$ $a$ $b$ $C$ $a$ $b+c$ $antes de Cristo$

Para un anillo de unidades, los $k$ divisores de unidades , es decir, los elementos que dividen a 1, también se denominan unidades (algebraicas) . Ellos y solo ellos tienen un elemento inverso, por lo que a los divisores de la unidad también se les llama elementos invertibles . Los elementos invertibles dividen todos los demás elementos del anillo. $a \ en K$ $k$

Los elementos y se denominan asociados si divide y divide . y están asociados si y sólo si , donde es un elemento invertible. $a$ $b$ $a$ $b$ $b$ $a$ $a$ $b$ $a = ser$ $mi$

Un elemento distinto de cero que no es una unidad se llama irreducible si no se puede descomponer en un producto de dos elementos que no son invertibles . $q$

Un elemento irreversible distinto de cero se llama simple si se sigue del hecho de que o sigue . Esta definición generaliza el concepto de número primo en un anillo , pero también tiene en cuenta los números primos negativos. Si es un elemento simple del anillo, entonces el ideal principal que genera es simple. Cualquier elemento simple es irreductible, pero lo contrario no es cierto en todos los dominios de integridad. $pags$ $p \ mid ab$ $p\mid a$ $p\mid b$ $\matemáticas {Z}$ $pags$ $(pags)$

Propiedades

Cualquier campo, así como cualquier anillo con una unidad, contenido en algún campo, es un dominio de integridad.
- Por el contrario, cualquier región de integridad se puede anidar dentro de algún campo. Tal incrustación viene dada por la construcción del campo de cocientes.
El producto directo de anillos nunca es una región entera, ya que la unidad del primer anillo multiplicada por la unidad del segundo anillo dará 0.
El producto tensorial de anillos integrales también será un anillo integral.
La característica del área de integridad es cero o un número primo .

Variaciones y generalizaciones

A veces, la conmutatividad no se requiere en la definición del dominio de integridad. Los ejemplos de dominios de integridad no conmutativos son los sólidos , así como los subanillos de sólidos que contienen una unidad, como los cuaterniones enteros . Sin embargo, no es cierto que cualquier dominio de integridad no conmutativa pueda estar incrustado en algún cuerpo.

Literatura

Vinberg E.B. Curso de álgebra. - 3ra ed. - M. : Prensa Factorial, 2002. - 544 p. - 3000 copias. — ISBN 5-88688-060-7 .

Diagrama de inclusión de algunas clases de anillos.
anillos conmutativos ⊃ anillos integrales ⊃ anillos factoriales ⊃ dominios ideales principales ⊃ anillos euclidianos ⊃ campos