Máximo ideal

Un ideal maximal de un anillo conmutativo es cualquier ideal propio del anillo que no está contenido en ningún otro ideal propio.

Propiedades

• (Suponemos además que estamos hablando de anillos con una unidad .) El conjunto de todos los ideales de un anillo está inductivamente ordenado con respecto a la inclusión, por lo tanto ( Lema de Zorn ) en cualquier anillo hay ideales máximos, además, para cualquier ideal propio I del anillo R hay un máximo ideal del anillo R , que lo contiene.

• Si un elemento a del anillo R no es invertible , entonces todos los elementos del anillo que son múltiplos de él forman un ideal propio. Por tanto, todo elemento irreversible del anillo está contenido en algún ideal máximo. Si un elemento a es invertible, cualquier ideal que lo contenga coincide con todo el anillo, por lo que los elementos invertibles no están contenidos en ningún ideal propio, respectivamente, ni en ningún maximal.

• Si todos los elementos irreversibles del anillo R forman un ideal, entonces es máximo y, además, único: no hay otros ideales máximos en el anillo R. (Lo contrario también es cierto: si un ideal maximal en un anillo R es único, incluye todos los elementos no invertibles del anillo). En este caso, el anillo R se llama anillo local .

• Una propiedad característica de un ideal maximal: un ideal de un anillo es maximal si y solo si el anillo cociente es un campo (todo elemento distinto de cero en él es invertible).

• Si el anillo R tiene la estructura de un álgebra de Banach sobre el campo de números complejos C , entonces el anillo cociente por el ideal maximal R/I es isomorfo a C . En este caso el ideal I define un homomorfismo del anillo R en el campo C cuyo núcleo es el ideal I .
  Para cada a existe un único número tal que ( e es la identidad del álgebra R ). La correspondencia es ese mismo homomorfismo.

• De la propiedad característica se sigue que todo ideal maximal es primo .

Ejemplos

• En el anillo de los enteros Z , los ideales maximales son todos ideales primos : si p es primo entonces el ideal ( p )= pZ es maximal . Por ejemplo, los números pares forman un ideal máximo, y los números que son múltiplos de 4 forman un ideal, pero no un máximo: este ideal está contenido en el ideal de los números pares.
• En el anillo de polinomios k[X,Y] , donde k es un campo algebraicamente cerrado , los ideales maximales son de la forma .
• El anillo de series de potencias sobre el campo k es un anillo local . Los elementos irreversibles son aquellos que no contienen un miembro libre. Forman un ideal. Es el único máximo ideal en este ring.