Álgebra de Banach

Un álgebra de Banach sobre un campo complejo o real es un álgebra asociativa , que es un espacio de Banach . En este caso, la multiplicación en él debe ser consistente con la norma:

\para todo x, y \en A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\|

Esta propiedad es necesaria para la continuidad de la operación de multiplicación con respecto a la norma.

Un álgebra de Banach se llama unital o álgebra de Banach con una unidad si tiene una unidad (es decir, un elemento tal que es verdadero para todos ). En este caso, generalmente se requiere que la norma de la unidad sea igual a 1. Si existe una unidad, entonces es única. Cualquier álgebra de Banach se puede incrustar isométricamente en su correspondiente álgebra unitaria de Banach como un ideal cerrado de dos caras . $\mathbf{1}$ $x \ en A$ $x\mathbf{1}=\mathbf{1} x=x$ $A$ $A_e$

Se dice que un álgebra de Banach es conmutativa si la operación de multiplicación en ella es conmutativa .

Ejemplos

Campos de números complejos o números reales - y con respecto a las operaciones estándar de suma y multiplicación. Estas son álgebras unitarias conmutativas. $\matemáticas {C}$ $\matemáticas {R}$
Álgebras de matrices complejas o reales con respecto a la multiplicación de matrices y la norma de matrices submultiplicativas .
El álgebra de cuaterniones es un álgebra real con una norma, un módulo.
$C(\Omega)$ es el álgebra de funciones continuas en un conjunto compacto con respecto a la multiplicación puntual con respecto a la supernorma . Un ejemplo más general es el espacio de funciones de valores complejos que se desvanecen en el infinito, donde es un espacio localmente compacto . $C_0(\Omega)$ $\Omega$
Álgebra de operadores acotados , actuando sobre un espacio de Banach, con respecto a la norma de operadores y composición como multiplicación. El conjunto de operadores compactos con respecto a las mismas operaciones es un ideal cerrado en esta álgebra.
Si es un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto con medida de Haar , entonces el espacio de Banach de funciones de valor complejo integrables por medida es un álgebra de Banach con respecto a la multiplicación-convolución, definida por la fórmula $GRAMO$ $\mu$ $L_1(G)$ $\mu$ $GRAMO$

(xy)(g) = \int_G x(h) y(h^{-1}g) \, \mathrm{d}\mu(h), \; g \in g

$L_1(\matemáticas R)$ es el álgebra de funciones sumables en la línea con convolución como multiplicación. Este es un caso especial del ejemplo anterior.
C*-álgebra es un álgebra con * -involución compatible con la norma: $\forall a \ ||a^*a||=||a||^2$

Propiedades

Algunas funciones elementales se pueden definir usando series de potencias para elementos de un álgebra de Banach. En particular, se puede definir el exponente de un elemento de un álgebra de Banach, funciones trigonométricas y, en general, cualquier función completa . Para elementos de un álgebra de Banach, la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente ( la serie de Neumann ) sigue siendo válida .

El conjunto de elementos invertibles de un álgebra es un conjunto abierto . Además, el mapeo que asocia cada elemento invertible con un inverso es un homeomorfismo . Por lo tanto, es un grupo topológico. $\mathrm{Inv}(A)$ $A$ $\mathrm{Inv}$ $\mathrm{Inv}(A)$

En un álgebra unital, la unidad no puede ser un conmutador: para cualquier x , y ∈ A. De ello se deduce que tampoco es un conmutador. $xy - yx \ne \mathbf{1}$ $\lambda \mathbf{1}, \ \lambda \ne 0$

El teorema de Gelfand - Mazur es válido : toda álgebra de Banach unitaria compleja en la que todos los elementos distintos de cero son invertibles es isomorfa . $\matemáticas {C}$

Teoría espectral

En álgebras unitarias de Banach, se introduce el concepto de espectro, que extiende el concepto de espectro de un operador a una clase más general de objetos.

Se dice que un elemento de un álgebra es invertible si existe un elemento tal que . El espectro de un elemento es el conjunto tal que el elemento es irreversible. El espectro de cualquier elemento de un álgebra de Banach compleja unitaria es un conjunto compacto no vacío. Por otra parte, para cualquier conjunto compacto, el espectro de un elemento del álgebra definido por la fórmula coincide con , por lo que no existen otras restricciones sobre el espectro de un elemento en un álgebra de Banach arbitraria. $a \ en A$ $A$ $a^{-1} \en A$ $aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf{1}$ $\sigma(a)$ $a$ $\lambda \in \mathbb{C},$ $a-\lambda \mathbf{1}$ $K \subconjunto \mathbb{C}$ $w$ $C(K)$ $w(z)=z$ $k$

El radio espectral de un elemento es la cantidad $\mathrm{r}(x)$ $x \ en A$

\mathrm{r}(x) = \arriba \{ |\lambda| : \lambda \en \sigma(x) \}

La fórmula de Beurling - Gelfand para el radio espectral es válida :

\mathrm{r}(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.

El conjunto resolvente de un elemento se llama conjunto . El conjunto resolvente de un elemento de un álgebra de Banach siempre está abierto. El resolvente de un elemento es una función de una variable compleja definida por la fórmula . El resolvente de un elemento de un álgebra de Banach es una función holomorfa . $a \ en A$ $\rho(a) = \mathbb{C} \setminus \sigma(a)$ $a \ en A$ $R_a \colon \rho(a) \to A$ $R_a(\lambda) = (\lambda\mathbf{1} - a)^{-1}$

Si es una función holomorfa en una vecindad del espectro , se puede determinar mediante la fórmula $F$ $D\subconjunto {\mathbb {C}}$ $\sigma(a)$ $f(a) \en A$

f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma f(\lambda) R_a(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda

donde está un contorno de Jordan rectificable que se encuentra en , que contiene el espectro del elemento y está orientado positivamente, y es el resolvente del elemento . En particular, esta fórmula se puede utilizar para determinar el exponente de un elemento a partir de un álgebra de Banach. $\gama$ $D$ $X$ $Real academia de bellas artes}$ $a$

Ideales y personajes

Sea A un álgebra de Banach unitaria conmutativa sobre el campo de los números complejos. Un carácter χ de un álgebra A es un funcional lineal distinto de cero , que tiene la propiedad multiplicativa: para cualquier a , b ∈ A , χ( ab ) = χ( a )χ( b ) y χ( 1 ) = 1 son verdaderas. Es decir, un carácter es un homomorfismo distinto de cero de las álgebras A y . Se puede comprobar que todo carácter en un álgebra de Banach es continuo y su norma es 1. $\matemáticas {C}$

El núcleo del carácter es el ideal maximal en A. Si es un ideal maximal, entonces el álgebra del cociente es un campo y un álgebra de Banach, entonces, por el teorema de Gelfand-Mazur, es isomorfo a . Por lo tanto, a cada ideal maximal se le puede asignar un carácter único χ tal que ker χ = . Este carácter se define como la composición de un mapeo factorial y un isomorfismo en . Así, se establece una biyección entre el conjunto de caracteres y el conjunto de ideales máximos . $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\matemáticas {C}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\matemáticas {C}$

El conjunto de todos los caracteres se llama el espacio de ideales máximos o el espectro del álgebra A y se denota Spec A . Este conjunto se puede dotar de la topología heredada de la topología débil* (la topología de convergencia puntual ) en el espacio dual A * . Del teorema de Banach-Alaoglu y del carácter cerrado de Spec A se deduce que Spec A es un espacio topológico compacto de Hausdorff .

La transformación de Gelfand de un elemento del álgebra A es una función continua definida por la fórmula para todos los caracteres χ. La transformación de Gel'fand realiza un homomorfismo de contracción del álgebra A en el álgebra C (Spec A) de funciones continuas en un conjunto compacto. $a$ $\hat{a} \colon \mathrm{Spec}\, A \to \mathbb{C}$ $\hat{a}(\chi) = \chi(a)$

El radical de un álgebra A es la intersección de todos sus ideales maximales. Si el radical consiste solo en cero, se dice que el álgebra A es semisimple . El núcleo de la transformación de Gelfand coincide con el radical del álgebra, por lo que la transformación de Gelfand es inyectiva si y solo si el álgebra A es semisimple. Así, cualquier álgebra de Banach conmutativa semisimple con la unidad coincide hasta el isomorfismo con algún álgebra de funciones continuas en un conjunto compacto, con la imagen de la transformación de Gelfand.

Literatura

Naimark M. A. Anillos normados. — M .: Nauka, 1968. — 664 p.
Helemsky A. Ya. Conferencias sobre análisis funcional. - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-065-8 .
Helemsky A. Ya. Banachs y álgebras polinormadas: teoría general, representaciones, homología. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014192-5 .