Medida mahleriana

La medida de Mahler para un polinomio con coeficientes complejos se define como $M(pag)$ ${\ estilo de visualización p (z)}$

M(p)=|a|\prod_{|\alpha_{i}|\geq 1}|\alpha_{i}|=|a|\prod_{i=1}^{n }\max\{1,|\alpha _{i}|\},

donde se factoriza en el campo de los números complejos ${\ estilo de visualización p (z)}$ $\matemáticas {C}$

p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).

La medida de Mahler se puede considerar como una especie de función de la altura . Usando la fórmula de Jensen , se puede mostrar que esta medida es equivalente a la media geométrica de los números en el círculo unitario (es decir, ): ${\ estilo de visualización | p (z) |}$ $z$ ${\ estilo de visualización | z | = 1}$

M(p)={\color {Verde}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Verde} \ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).

En términos más generales, la medida de Mahler para un número algebraico se define como la medida de Mahler del polinomio mínimo en más de . En particular, si es un número de Pisot o un número de Salem , entonces la medida de Mahler es simplemente . $\alfa$ $\alfa$ $\matemáticas {Q}$ $\alfa$ $\alfa$

La medida de Mahler lleva el nombre del matemático Kurt Mahler .

Propiedades

La medida de Mahler es multiplicativa: donde es el cuantificador universal . $\forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),$ $\para todos$
${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau ))$ , donde la potencia media es la norma del polinomio [1] . $\|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }$ ${\ Displaystyle L_ {\ tau}}$ $pags$
( Teorema de Kronecker ) Si es un polinomio entero irreductible normalizado (coeficiente más alto - 1) con , entonces , o es un polinomio circular . $pags$ ${\ estilo de visualización M (p) = 1}$ ${\ estilo de visualización p (z) = z}$ $pags$
( Conjetura de Lemaire ) Si existe una constante tal que si es un polinomio entero irreducible, entonces , o . ${\ estilo de visualización \ mu> 1}$ $pags$ ${\ estilo de visualización M (p) = 1}$ ${\ estilo de visualización M (p)> \ mu}$
La medida de Mahler de un polinomio entero normalizado es el número de Perron .

Mahler mide en varias variables

La medida de Mahler para un polinomio con varias variables se define mediante una fórmula similar [2] . $M(pag)$ $p(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots,x_{n}]$

M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n))}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^ {2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1)),e^{i\ theta _{2)),\ldots,e^{i\theta _{n))){\bigr |}{\Bigr)}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2} \cdots d\theta _{n}\right).

Esta medida conserva las tres propiedades de la medida de Mahler para un polinomio en una variable.

Se ha demostrado que, en algunos casos, la medida de Mahler multivariable está relacionada con valores especiales de las funciones zeta y funciones - . Por ejemplo, en 1981 Smith demostró las fórmulas [3] $L$

m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),

donde es la función L de Dirichlet , y ${\ estilo de visualización L (\ chi _ {-3}, s)}$

m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2))}\zeta (3)

donde es la función zeta de Riemann . Aquí se llama medida logarítmica de Mahler . $\zeta$ ${\displaystyle m(P)=\log {M(P)))$

Teorema de Lawton

Por definición, la medida de Mahler se considera como una integral de un polinomio sobre un toro (ver la conjetura de Lehmer ). Si se anula en el toro , entonces la convergencia de la integral que define a , no es obvia, pero se sabe que converge y es igual al límite de la medida de Mahler en una variable [4] , lo cual fue expresado como una conjetura por Boyd [5] [6] . $pags$ ${\ estilo de visualización (S^{1})^{n))$ $M(pag)$ $M(pag)$

Let denota números enteros, define . Si es un polinomio en variables y , entonces defina un polinomio en una variable como $\matemáticas {Z}$ $\mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots,r_{N})\en \mathbb {Z} ^{N}:r_{j }\geq 0\ {\text{para}}\ 1\leq j\leq N\}$ $Q(z_{1},\dots,z_{N})$ $norte$ ${\displaystyle r=(r_{1},\dots,r_{N})\in \mathbb {Z}_{+}^{N))$ $Q_{r}(z)$

Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1)),\dots,z^{r_{N))),

un - como ${\ estilo de visualización q (r)}$

q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots,s_{N})\en \mathbb {Z} ^{N} ,s\neq (0,\dots,0)\ {\text{y}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}

donde _ $H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}$

Teorema (Lawton) : sea un polinomio en N variables con coeficientes complejos, entonces el siguiente límite es verdadero (incluso si se viola la condición ): $Q(z_{1},\dots,z_{N})$ $r_{i}\geq 0$

\lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)

La propuesta de Boyd

Boyd propuso un enunciado más general que el teorema anterior. Señaló que el teorema clásico de Kronecker, que caracteriza polinomios normalizados con coeficientes enteros cuyas raíces se encuentran dentro del círculo unitario, puede considerarse como una descripción de polinomios en una variable para la cual la medida de Mahler es exactamente 1, y que este resultado puede ser extender a polinomios de varias variables [6] .

Deje que el polinomio del círculo extendido se defina como un polinomio de la forma

\Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi_{m}(z_{1}^{v_{1} }\puntos z_{n}^{v_{n}}),

donde es un polinomio circular de grado m , son números enteros y se elige mínimo, por lo que es un polinomio en . Sea el conjunto de polinomios que son el producto de monomios y un polinomio circular extendido. Entonces se obtiene el siguiente teorema. ${\ estilo de visualización \ Phi _ {m} (z)}$ $v_{i}$ $b_{i}=\max(0,-v_{i}\grados \Phi _{m})$ ${\ estilo de visualización \ Psi (z)}$ $z_{yo}$ $K_n$ $\pm z_{1}^{c_{1}}\puntos z_{n}^{c_{n}}$

Teorema (Boyd) : sea un polinomio con coeficientes enteros, entonces solo cuando es un elemento de . $F(z_{1},\dots,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots,z_{n}]$ ${\ estilo de visualización M (F) = 1,}$ $F$ $K_n$

Esto llevó a Boyd a considerar los siguientes conjuntos:

L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr\)),

y asociación Presentó una hipótesis más "avanzada" [5] de que el conjunto es un subconjunto cerrado . La validez de esta conjetura implica inmediatamente la validez de la conjetura de Lehmer, aunque sin un límite inferior explícito. Desde el resultado de Smith ${\displaystyle {L}_{\infty}=\bigcup _{n=1}^{\infty}L_{n))$ ${\displaystyle {L}_{\infty ))$ $\matemáticas {R}$ [ aclarar ] se deduce que , Boyd más tarde planteó la hipótesis de que $L_{1}\subsetneqq L_{2}$

L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.

Véase también

Norma Bombieri
Altura del polinomio

Notas

↑ Aunque esta no es la verdadera norma para . ${\ estilo de visualización \ tau <1}$
↑ Schinzel, 2000 , pág. 224.
↑ Smith, 2008 .
↑ Lawton, 1983 .
↑ 12 Boyd, 1981a .
↑ 12 Boyd, 1981b .

Literatura

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