Función L

Una función L es una función meromórfica en el plano complejo asociada con uno de varios tipos de objetos matemáticos . Una serie L es una serie de Dirichlet que generalmente converge en el semiplano y que puede extenderse analíticamente a una función L en todo el plano complejo.

La teoría de la función L se ha convertido en una parte muy esencial, aunque todavía en gran medida hipotética, de la moderna teoría analítica de números . En él se construyen amplias generalizaciones de la función zeta de Riemann y de la serie L para los caracteres de Dirichlet , y sus propiedades generales, en la gran mayoría de los casos, aún no están disponibles para demostración en una presentación sistemática.

Edificio

Distinguiremos entre L-series , es decir, representaciones mediante series (por ejemplo, la serie de Dirichlet para la función zeta de Riemann), y L -funciones, es decir, continuaciones analíticas de una función en todo el plano complejo. La construcción general comienza con la serie L , primero definida como un rad de Dirichlet, y su descomposición en un producto de Euler con un índice que pasa por números primos. La consideración requiere prueba de la convergencia de la serie en algún semiplano derecho del campo de los números complejos. Luego se pregunta si la función que se está definiendo se puede extender analíticamente a todo el plano complejo (quizás con la aparición de varios polos ).

Una extensión meromórfica hipotética al plano complejo se llama función L. Ya se sabe en casos clásicos que la información útil está contenida en los valores y el comportamiento de la función L en sus ceros y polos. El término general " función L " aquí también incluye muchos tipos de funciones zeta . La clase de Selberg es un intento de describir todas las propiedades principales de las funciones L utilizando un conjunto de axiomas para estudiar las propiedades de la clase juntas y no por separado.

Información hipotética

A continuación se muestra una lista de características de funciones L conocidas que es deseable ver en términos generales:

• ubicación de ceros y polos;
• Ecuación funcional, teniendo en cuenta algunas líneas verticales ;
• valores interesantes en números enteros relacionados con los parámetros de la teoría K algebraica

El trabajo detallado ha sido generado por un gran cuerpo de hipótesis plausibles, por ejemplo, sobre el tipo exacto de ecuación funcional que debe cumplir para las funciones L. Dado que la función zeta de Riemann relaciona sus valores en enteros pares positivos (y enteros impares negativos) con números de Bernoulli , se está buscando una generalización adecuada de este fenómeno. En este caso, se obtuvieron resultados para funciones L p-ádicas que describen un determinado módulo de Galois.

La estadística de la distribución de ceros es de interés debido a su conexión con problemas como la hipótesis de Riemann generalizada , la distribución de números primos , etc. Las conexiones con la teoría de matrices aleatorias y el caos cuántico también son de interés. La estructura fractal de las distribuciones también es de interés [2] . La auto-similitud de la distribución de ceros es bastante notable y se caracteriza por una gran dimensión fractal de 1,9. Esta dimensión fractal bastante grande está por encima de los ceros, cubriendo al menos quince órdenes de magnitud para la función zeta de Riemann, así como para los ceros de otras funciones L de diferentes órdenes y conductores.

La hipótesis de Birch y Swinnerton-Dyer

Un ejemplo importante, tanto para la historia de las funciones L más generales como para un problema de investigación aún abierto, es la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . La conjetura dice cómo se puede calcular el rango de una curva elíptica sobre el campo de números racionales (u otro campo global ), es decir, el número de grupos de puntos racionales libres que lo forman. Gran parte del trabajo previo en esta área comenzó a unirse en torno a un mejor conocimiento de las funciones L. Era como un ejemplo de un paradigma en la teoría emergente de las funciones L.

Surgimiento de la teoría general

Este desarrollo precedió al programa de Langlands por varios años y puede verse como complementario: el trabajo de Langlands se ocupa principalmente de las funciones L de Artin y de las funciones L adjuntas a la representación automórfica general .

Gradualmente se hizo más claro en qué sentido la construcción de la función zeta de Hasse-Weil puede hacer viable la provisión de funciones L admisibles en el sentido analítico: debe haber alguna contribución del análisis, lo que significa análisis "automórfico". El caso general reúne ahora a nivel conceptual varios programas de investigación diferentes.

Véase también

• Hipótesis de Riemann generalizadas
• Función L automórfica
• teorema de modularidad
• la hipótesis de Artin

Enlaces

1. ↑ Jorn Steuding, Introducción a la teoría de las funciones L, Preprint, 2005/06
2. ↑ O. Shanker. Matrices aleatorias, funciones zeta generalizadas y autosimilitud de distribuciones cero  // J. Phys  . R: Matemáticas. general : diario. - 2006. - vol. 39 , núm. 45 . - Pág. 13983-13997 . -doi : 10.1088 / 0305-4470/39/45/008 . - .