Poder medio

La potencia media d (o simplemente la potencia media ) es una especie de media . Para un conjunto de números reales positivos se define como $x_{1},\ldots,x_{n}$

A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{ yo}^{d}}{n}}}.

Al mismo tiempo, según el principio de continuidad con respecto al indicador d , se determinan los siguientes valores:

A_{0}(x_{1},\ldots,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})= {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};

A_{+\infty }(x_{1},\ldots,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots,x_{ n})=\max\{x_{1},\ldots,x_{n}\};

A_{-\infty }(x_{1},\ldots,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots,x_{ n})=\min\{x_{1},\ldots,x_{n}\}.

La media de potencia es un caso especial de la media de Kolmogorov .

Junto con el concepto de "potencia media", también se utiliza la potencia media ponderada de algunas cantidades.

Otros títulos

Dado que el promedio de grado d generaliza los promedios antiguos (llamados de Arquímedes), a menudo se le llama promedio generalizado .

En relación con las desigualdades de Minkowski y Hölder , la potencia media también tiene nombres: media de Hölder y media de Minkowski .

Grados promedio 0, ±1, 2 y tienen sus propios nombres: $\pm\infty$

$A_{1}(x_{1},\ldots,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$ llamado la media aritmética ;

(en otras palabras: la media aritmética de n números es su suma dividida por n )

$A_{0}(x_{1},\ldots,x_{n})=g={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}$ se llama la media geométrica ;

(en otras palabras: la media geométrica de n números es la raíz enésima del producto de estos números)

$A_{{-1))(x_{1},\ldots,x_{n})=h={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1 {x_{2))}+\cdots +{\frac{1}{x_{n))))}$ llamada media armónica .

(en otras palabras: la media armónica de los números es el recíproco de la media aritmética de sus recíprocos)

$A_{{2}}(x_{1},\ldots,x_{n})=s={\sqrt {{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ cpuntos +x_{n}^{2}}{n}}}}$ llamado cuadrado medio (square) , también conocido por la abreviatura RMS (root-mean-square).
En la práctica estadística, también se utilizan promedios de ley de potencias de orden tercero y superior. Los más comunes son los valores medios cúbicos y medios bicuadráticos.
El número máximo y mínimo de un conjunto de números positivos se expresan como el promedio de las potencias de estos números: $+\infty$ $-\infty$

\operatorname {max}\{x_{1},\ldots,x_{n}\}=A_{{+\infty}}(x_{1},\ldots,x_{n});

\operatorname {min}\{x_{1},\ldots,x_{n}\}=A_{{-\infty}}(x_{1},\ldots,x_{n}).

La desigualdad media establece que para cualquier $d_{1}>d_{2}$

A_{{d_{1}}}(x_{1},\ldots,x_{n})\geq A_{{d_{2}}}(x_{1},\ldots,x_{n})

además, la igualdad se logra solo si todos los argumentos son iguales . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Para probar la desigualdad media, basta con mostrar que la derivada parcial con respecto no es negativa y se anula solo en (por ejemplo, usando la desigualdad de Jensen ), y luego aplicar la fórmula de incremento finito . $A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})$ $d$ $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Un caso especial de la desigualdad sobre las medias es la desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica.

\max\{x_{1},\ldots,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}\geq {\frac {n}({\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}\geq\min\{x_{1},\ldots,x_{n}\},

donde cada una de las desigualdades se convierte en una igualdad solo para . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

I. I. Zhogin. Sobre los promedios // Educación matemática . Segunda serie. - 1961. - Emisión. 6 _ - S. 217-226 .

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución