Medida de radón

La medida de Radon es una medida del sigma-álgebra de conjuntos de Borel en un espacio topológico X de Hausdorff que es localmente finito e internamente regular.

Definición

Sea μ una medida en el sigma-álgebra de los conjuntos de Borel en un espacio topológico X de Hausdorff .

Se dice que una medida μ es intrínsecamente regular si, para cualquier conjunto de Borel B , μ ( B ) es igual al supremo μ ( K ) para los subconjuntos compactos K de B.

Se dice que una medida μ es regular exterior si, para cualquier conjunto de Borel B , μ ( B ) es el mínimo de μ ( U ) sobre todos los conjuntos abiertos U que contienen a B.

Se dice que una medida μ es localmente finita si todo punto en X tiene una vecindad U para la cual el valor μ ( U ) es finito. (Si μ es localmente finito, entonces μ es finito en conjuntos compactos).

Una medida μ se llama medida Radon si es internamente regular y localmente finita.

Nota

La definición se puede generalizar a espacios que no sean de Hausdorff reemplazando las palabras "compacto" por "cerrado y compacto" en todas partes, pero esta generalización aún no tiene aplicaciones.

Ejemplos

Ejemplos de medidas de radón:

medida de Lebesgue en el espacio euclidiano (restringido a subconjuntos de Borel);
Medida de Haar sobre cualquier grupo topológico localmente compacto;
Medida de Dirac en cualquier espacio topológico;
Medidas gaussianas en un espacio euclidiano con su sigma-álgebra de Borel; $\mathbb{R} ^{n}$
Medidas de probabilidad sobre el σ-álgebra de los conjuntos de Borel de cualquier espacio polaco. Este ejemplo no solo generaliza el ejemplo anterior, sino que incluye muchas medidas en espacios localmente compactos, como la medida de Wiener en el espacio de funciones continuas reales en el intervalo [0,1].

Las siguientes medidas no son medidas de radón:

Una medida de conteo en un espacio euclidiano no es una medida de Radon, ya que no es localmente finita.
El espacio de ordinales hasta el primer ordinal incontable con topología de orden es un espacio topológico compacto. Una medida que es 1 en cualquier conjunto que contenga un conjunto cerrado incontable, y 0 en caso contrario, es una medida de Borel, pero no una medida de Radon.
Sea X el conjunto [0,1) equipado con la topología flecha . La medida de Lebesgue sobre este espacio topológico no es una medida de Radon, ya que no es internamente regular. Esto último se deriva del hecho de que los conjuntos compactos en esta topología son, como mucho, contables.
La medida estándar de un producto con un incontable no es una medida de Radon, ya que cualquier conjunto compacto está contenido dentro del producto de un número incontable de intervalos cerrados, cada uno de los cuales mide menos de 1. ${\ estilo de visualización (0,1) ^ {\ kappa))$ $\kappa$

Propiedades

En lo que sigue , X denota un espacio topológico localmente compacto , μ la medida de Radon en . $X$

La medida μ define un funcional lineal en el espacio de todas las funciones finitas en X , es decir, funciones continuas con soporte compacto: $I\dos puntos f\mapsto \int \limits _{X}f\,d\mu$

Es más:

Este funcional define completamente la medida en sí.
Este funcional es continuo y positivo. Positivo significa que si . ${\ estilo de visualización I (f) \ geqslant 0}$ ${\ estilo de visualización f \ geqslant 0}$

Métrica de radón

Al cono de todas las medidas de Radon se le puede dar la estructura de un espacio métrico completo . La distancia entre dos medidas de Radon , se define de la siguiente manera: $X$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {1}, \ mu _ {2}}$

\rho (\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\{\int \limits _{X}f(x)\,d(\mu _{1}- \mu _{2})(x)\derecha\},

donde el supremo se toma sobre todas las funciones continuas $f\dos puntos X\a [-1,1]$

Esta métrica se llama la métrica Radon . La convergencia de medidas en la métrica Radon a veces se denomina convergencia fuerte .

El espacio de probabilidad de Radon mide en , $X$

{\mathcal {P}}(X):=\{\mu \mid \mu (X)=1\},

no es secuencialmente compacto con respecto a esta métrica, es decir, no se garantiza que cualquier secuencia de medidas de probabilidad tendrá una subsecuencia que converge.

La convergencia en la métrica Radon implica una débil convergencia de medidas:

\rho (\mu _{n},\mu )\to 0\Rightarrow \mu _{n}\rightharpoonup \mu

Lo contrario no es cierto en general.

Integración

La definición de la integral para una clase más amplia de funciones (con soporte no necesariamente compacto) se lleva a cabo en varios pasos:

La integral superior μ*(g) de funciones semicontinuas positivas (reales) inferiores g se define como el supremo (posiblemente infinito) de números positivos μ ( h ) para funciones continuas finitas h ≤ g .
La integral superior μ*( f ) para una función arbitraria positiva de valor real f se define como el mínimo de las integrales superiores μ*(g) para funciones semicontinuas inferiores g ≥ f .
El espacio vectorial F = F ( Х ; μ ) se define como el espacio de todas las funciones f en X para las cuales la integral superior μ*(|f|) es finita; La integral superior de valor absoluto define una seminorma en F , y F es un espacio completo con respecto a la topología definida por esta seminorma.
El espacio L 1 ( X , μ ) de funciones integrables se define como la clausura en F del espacio de funciones finitas continuas.
La integral para funciones de L 1 ( X , μ ) se determina por extensión por continuidad (después de comprobar que μ es continua respecto a la topología de L 1 ( X , μ )).
La medida del conjunto se define como la integral (cuando existe) de la función del indicador del conjunto.

Se puede observar que estas operaciones arrojan una teoría idéntica a la que parte de la medida de Radon, definida como una función que asigna un número a cada conjunto de Borel en X.

Literatura

Bourbaki, Nicolas (2004), Integración I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 .
Dieudonné, Jean (1970), Tratado de análisis , vol. 2 Prensa Académica
Hewitt, Edwin & Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag .
König, Heinz (1997), Medida e integración: un curso avanzado en procedimientos y aplicaciones básicos , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
Schwartz, Laurent (1974), Medidas de radón en espacios topológicos arbitrarios y medidas cilíndricas , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

Enlaces

RA Minlos (2001), medida de radón , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4