Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo

El dominio del tiempo de diferencia finita ( FDTD ) o método Yi es un   método numérico aplicado por primera vez a problemas de electrodinámica por el matemático chino-estadounidense Kane S. Yi, basado en la discretización de las ecuaciones de Maxwell por el método de diferencia finita . Debido a que es un método en el dominio del tiempo , las soluciones FDTD cubren una amplia gama de frecuencias en una sola ejecución y tienen en cuenta las propiedades no lineales del material de forma natural en la etapa de muestreo.

El método FDTD pertenece a la clase general de métodos de cuadrícula de modelado numérico diferencial (métodos de diferencias finitas). Las ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo (en forma diferencial parcial) se discretizan utilizando aproximaciones en diferencia central de derivadas parciales con respecto al espacio y al tiempo. Las ecuaciones en diferencias finitas resultantes se resuelven utilizando el algoritmo de "salto": los componentes del vector de campo eléctrico en el volumen del espacio se resuelven en un momento dado en el tiempo; mientras que las componentes del vector de campo magnético en el mismo volumen espacial están en el siguiente momento de tiempo; y el proceso se repite una y otra vez hasta que se logra completamente el comportamiento transitorio o estacionario deseado del campo electromagnético .

El método FDTD se utiliza para muchos problemas relacionados con los medios continuos y la propagación de ondas en los mismos: hidrodinámica, acústica, mecánica cuántica, etc.

Descripción

FDTD pertenece a la clase general de métodos de cuadrícula para resolver ecuaciones diferenciales. El algoritmo básico del método fue propuesto por primera vez por Kane Yee ( Universidad de California ) en 1966 en el artículo "Solución numérica de problemas de valor límite inicial que involucran ecuaciones de Maxwell en medios isotrópicos" en la revista "IEEE Transactions on Antennas and Propagation" [1 ] . Sin embargo, el nombre "dominio de tiempo de diferencia finita" y la abreviatura FDTD fueron dados al método por Allen Tuflov ( Universidad de Northwestern , Illinois).

En el sentido estricto original, FDTD significaba el uso del algoritmo básico de Yee para la solución numérica de las ecuaciones de Maxwell. En el sentido moderno más amplio, FDTD incluye una amplia variedad de posibilidades: modelado de medios con propiedades dispersas y no lineales, uso de varios tipos de cuadrículas (además de la cuadrícula rectangular propuesta originalmente por Yi), uso de métodos de procesamiento posterior para procesar los resultados, etc.

Desde aproximadamente 1990, el método de diferencias finitas se ha convertido en el principal para modelar una amplia variedad de aplicaciones ópticas. Se puede aplicar con éxito para resolver una amplia gama de problemas: desde el modelado de ondas electromagnéticas ultralargas en geofísica (incluidos los procesos en la ionosfera ) y microondas (por ejemplo, para estudiar radares característicos, calcular características de antenas, desarrollar dispositivos de comunicación inalámbrica, incluidos digitales) para resolver tareas en el rango óptico ( cristales fotónicos , nanoplasmónicos , solitones y biofotónicos ). Para 2006, el número de publicaciones dedicadas a FDTD llegó a dos mil.

Actualmente, hay alrededor de 30 programas comerciales FDTD, así como proyectos de código abierto (incluidos varios rusos).

Algoritmo de Yi

En las ecuaciones de Maxwell, el cambio en el campo eléctrico E (derivada parcial) depende de la distribución espacial del campo magnético H (rotor). De manera similar, el cambio en el campo H depende de la distribución espacial del campo E.

El algoritmo de Yi se basa en esta observación. Las cuadrículas de los campos E y H se desplazan entre sí la mitad del paso de muestreo de tiempo y para cada una de las variables espaciales. Las ecuaciones en diferencias finitas permiten determinar los campos E y H en un paso de tiempo dado en función de los valores conocidos de los campos en el paso anterior.

Dadas las condiciones iniciales, el algoritmo de Yi da una solución evolutiva en el tiempo desde el origen con un paso de tiempo dado.

Se utiliza una cuadrícula similar (dividida) para resolver problemas de hidrodinámica (para campos de presión y velocidad).

Como en cualquier otro método de diferencias, FDTD tiene el problema de un mapeo inexacto del límite del cuerpo en la cuadrícula computacional. Cualquier superficie curva que separe medios adyacentes y que no sea geométricamente coherente con la cuadrícula se distorsionará por el efecto de "aproximación en escalera". Para solucionar este problema, se puede utilizar una grilla adicional con una alta resolución en aquellas áreas del espacio donde se ubican cuerpos con una estructura geométrica compleja [2] . También es posible modificar las ecuaciones en diferencias en los nodos de la cuadrícula ubicados cerca del límite entre cuerpos adyacentes [3] . Un método menos costoso es la introducción de una permitividad efectiva cerca del límite entre los cuerpos (suavizado de subpíxeles) [4] [5] .

El esquema numérico de FDTD no implica la posibilidad de tabular la dependencia de la permitividad con la frecuencia. Sin embargo, puede representarse como una aproximación (ajuste) por los términos de Debye, Drude, Lorentz o Lorentz con absorción. Tal aproximación no tiene necesariamente un significado físico y puede obtenerse numéricamente, por ejemplo, utilizando el programa [6] .

Condiciones de frontera absorbentes

Para limitar el volumen de la red, FDTD requiere condiciones de contorno de absorción especiales que simulan la salida de una onda electromagnética hacia el infinito. Para ello se utilizan condiciones de frontera absorbentes de Moore o Liao [7] , o capas perfectamente adaptadas (Perfect Matched Layers, PML). Las condiciones de Moore o Liao son mucho más simples que PML. Sin embargo, los PML, estrictamente hablando, al ser una región absorbente cercana al límite, y no una condición de límite como tal, hacen posible obtener coeficientes de reflexión más bajos de órdenes de magnitud del límite.

El concepto de capas perfectamente acopladas (PML) fue introducido por Jean Pierre Beringer en un artículo en The Journal of Computational Physics en 1994 [8] La idea de PML de Beringer se basaba en dividir los campos iniciales E y H en dos componentes, para cada uno de los cuales tus ecuaciones Posteriormente, se han propuesto formulaciones mejoradas de PML equivalentes a la formulación original de Berenger. Así, en PML uniaxial (Uniaxial PML) se utiliza un material absorbente anisotrópico, lo que permite no introducir variables adicionales y mantenerse dentro del marco de las ecuaciones originales de Maxwell [9] . Sin embargo, el PML uniaxial, así como el PML en la formulación de Berenger, no son convenientes porque carecen de absorción de onda amortiguada, lo que no permite que el PML se coloque cerca de los cuerpos dispersores. El PML inverso (Convolutional PML), que se basa en la continuación analítica de las ecuaciones de Maxwell en el plano complejo de tal forma que su solución decae exponencialmente [10] , no tiene este inconveniente . CPML también es más conveniente para limitar infinitos medios conductores y dispersivos. Además, la formulación matemática de CPML es más visual y fácil de entender.

En algunos casos, el uso de PML conduce a divergencias en el cálculo de FDTD. Este problema se puede eliminar colocando una pared absorbente adicional detrás de la PML [11] .

Procedimiento de cálculo para FDTD

El progreso del cálculo de FDTD es el siguiente:

• Se establecen el área de conteo, la resolución de la cuadrícula y las condiciones de contorno. Las condiciones de contorno pueden ser absorbentes o periódicas. Estos últimos se utilizan para simular la incidencia normal de una onda plana sobre una estructura periódica. El esquema FDTD para simular buzamiento oblicuo requiere condiciones periódicas desplazadas en el tiempo, que pueden implementarse usando varios métodos [12] [13] [14] .
• Los cuerpos materiales con propiedades ópticas específicas (permitividad y conductividad magnética) se colocan dentro de la región de conteo.
• La fuente está configurada. La forma más sencilla de especificar la fuente es especificar la dependencia del tiempo de la densidad de corriente J en la ecuación de Ampère. Este tipo de fuente se usa comúnmente cuando se modelan dipolos. Para generar una onda plana es más conveniente otro tipo de fuente, implementada mediante el método de Campo Total/Campo Disperso.
• La fuente genera una onda electromagnética finita en el tiempo, cuya composición espectral debe cubrir el rango de frecuencia de interés. Además, la onda cae sobre los cuerpos, se vuelve a dispersar sobre ellos y, en presencia de condiciones límite absorbentes, abandona la región de conteo después de algún tiempo. El historial de propagación de ondas se conserva.
• Usando la transformada de Fourier, los valores de campo registrados se convierten en una representación de frecuencia. Además, al procesarlos (por ejemplo, al integrar el flujo de energía de campo a través de alguna superficie), se pueden obtener las características ópticas de la estructura de cuerpos considerada. Utilizando el método de Transformación Near to Far, es posible obtener valores de campo fuera de la región de conteo en base a la evolución del campo dentro de la región de conteo [15] .

Ventajas y desventajas de FDTD

Como cualquier otro método numérico, FDTD tiene sus ventajas y desventajas.

ventajas:

• FDTD es un método simple e intuitivo.
• Debido a que FDTD opera en el dominio del tiempo, proporciona resultados para una amplia gama de longitudes de onda en un solo cálculo. Esto puede ser útil cuando se resuelven problemas en los que no se conocen las frecuencias resonantes o cuando se modelan señales de banda ancha.
• FDTD le permite crear imágenes animadas de propagación de ondas en un volumen simulado.
• FDTD es útil para definir medios anisotrópicos, dispersivos y no lineales.
• El método permite simular directamente efectos de borde y efectos de tramado, y los campos dentro y fuera de la pantalla pueden calcularse directamente o no.

Defectos:

• El paso de discretización espacial debe ser mucho más pequeño que las longitudes de onda estudiadas y las dimensiones típicas de la estructura en estudio. En algunos casos (ópalos inversos con pequeñas particiones entre las bolas) esto puede requerir cuadrículas con un pequeño paso, lo que significa una gran cantidad de memoria y un gran tiempo de cálculo.
• FDTD calcula los márgenes dentro del área de enumeración. Si se requiere encontrar el campo a una gran distancia de la fuente, entonces es necesario aumentar la región computacional y el tiempo de cálculo. Hay modificaciones en el método para encontrar un campo a distancia, pero requieren un procesamiento posterior.

Véase también

• ecuaciones de Maxwell
• Electrodinámica
• esquema de diferencia
• Métodos numéricos
• Meep  es un paquete de software de código abierto para la simulación de diferencias finitas de fenómenos electromagnéticos en el dominio del tiempo.

Fuentes

1. Solución numérica de problemas de valores de contorno iniciales que involucran las ecuaciones de Maxwell en medios isotrópicos //  Transacciones IEEE sobre antenas y propagación   : diario. - 1966. - Vol. 14 , núm. 3 . - Pág. 302-307 .
2. ↑ SS Zivanovic, KS Yee y KK Mei. Un método de subcuadrícula para el Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo para resolver las ecuaciones de Maxwell //  IEEE Trans. Tecnología de la teoría de microware. : diario. - 1991. - vol. 38 . - Pág. 471 .  
3. ↑ T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar y T. G. Moore. Modelado en el dominio del tiempo de diferencias finitas de superficies curvas // IEEE Trans  . Propagación de antenas   : diario. - 1992. - vol. 40 . - Pág. 357 .
4. ↑ J. Nadobny, D. Sullivan, W. Wlodarczyk, P. Deuflhard y P. Wust. Una formulación FDTD de tensor tridimensional para el tratamiento de interfaces inclinadas en medios eléctricamente no homogéneos // IEEE Trans  . Propagación de antenas   : diario. - 2003. - vol. 51 . — Pág. 1760 .
5. ↑ A. Deinega y I. Valuev. Suavizado de subpíxeles para medios conductores y dispersivos en el método FDTD  // Opc . Letón.  : diario. - 2007. - vol. 32 . — Pág. 3429 .  
6. ↑ Ajuste de la constante dieléctrica . Consultado el 7 de abril de 2012. Archivado desde el original el 9 de junio de 2012. (indefinido)
7. ↑ G. Mur. Condiciones de contorno absorbentes para la aproximación de diferencias finitas de las ecuaciones del campo electromagnético en el dominio del tiempo  //  Transacciones IEEE sobre compatibilidad electromagnética: revista. - 1981. - vol. 23 , núm. 4 . - pág. 377-382 .
8. ↑ J. Bérenger. Una capa perfectamente combinada para la absorción de ondas electromagnéticas  //  Journal of Computational Physics : diario. - 1994. - vol. 114 , núm. 2 . - P. 185-200 .
9. ↑ SD Gedney. Un medio absorbente de capa anisotrópica perfectamente adaptada para el truncamiento de redes FDTD  //  Transacciones IEEE en antenas y propagación : diario. - 1996. - vol. 44 , núm. 12 _ - P. 1630-1639 .
10. ↑ JA Roden y SD Gedney. Convolución PML (CPML): una implementación FDTD eficiente de CFS-PML para medios arbitrarios // Letras de tecnología óptica y de  microondas   : diario. - 2000. - vol. 27 , núm. 5 . - P. 334-339 .  (enlace no disponible)
11. ↑ A. Deinega y I. Valuev. Comportamiento a largo plazo de los límites absorbentes de PML para estructuras periódicas en capas  // Comp . física Com.   : diario. - 2011. - vol. 182 . — Pág. 149 .
12. ↑ I. Valuev, A. Deinega y S. Belousov. Técnica iterativa para el análisis de estructuras periódicas con incidencia oblicua en el método de dominio de tiempo de diferencias finitas  // Opt . Letón.  : diario. - 2008. - Vol. 33 . - Pág. 1491 .  
13. ↑ A. Aminian y Y. Rahmat-Samii. FDTD espectral: una técnica novedosa para el análisis de ondas planas incidentes oblicuas en estructuras periódicas //  IEEE Trans. Antenas y Propagación: revista. - 2006. - vol. 54 . - Pág. 1818 .  
14. ↑ JA Roden, SD Gedney, MP Kesler, JG Maloney y PH Harms. Análisis en el dominio del tiempo de estructuras periódicas con incidencia oblicua: implementaciones FDTD ortogonales y no ortogonales (inglés)  // Teoría y técnicas de microondas: revista. - 1998. - vol. 46 . - Pág. 420 .  
15. ↑ KR Umashankar y A. Taflove.  - 1982. - vol. 24 , núm. 4 . - P. 397-405 . 

Enlaces

En ruso

• EMTL (Biblioteca de plantillas electromagnéticas )
• FDTDpro de Alexander Zelenin (Programa para calcular campos electromagnéticos utilizando el método FDTD. Descripción del programa y una buena descripción detallada del método FDTD en ruso).
• REVISTA DE RADIO ELECTRÓNICA №5, 2006 (Modelado numérico de cristales fotónicos bidimensionales. Artículo.)

En inglés

- https://www.matecdev.com/posts/differences-fdtd-fem-mom.html (Resumen breve del software gratuito de simulación electromagnética)

Literatura

trabajo pionero

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Método de diferencias finitas
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