Modelo autorregresivo y de rezagos distribuidos

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El modelo autorregresivo y de retrasos distribuidos ( modelo ADL, ing. autorregresivos retrasos distribuidos ) es un modelo de serie de tiempo en el que los valores actuales de la serie dependen tanto de los valores pasados de esta serie como de los valores actuales y pasados . de otras series de tiempo. El modelo con una variable exógena tiene la forma: $AVD(p,q)$

y_{t}=a_{0}+\sum_{i=1}^{p}a_{i}y_{ti}+\sum_{j=0}^{q}b_{j} x_{tj}+\varepsilon _{t}

El modelo es un modelo autorregresivo AR(p) (en general, posiblemente con una variable exógena sin rezagos), y el modelo es un modelo de rezagos distribuidos . $AVD(p,0)$ $AVD(0,q)$ $DL(q)$

El modelo se generaliza al caso de varias variables exógenas . En este caso, es posible la designación del modelo , donde es el número de variables exógenas, es el número de rezagos de la ésima variable incluida en el modelo. En general, podemos suponer que todas las variables exógenas se incluyen en el modelo con el mismo número de rezagos, y la exclusión de cualquier rezago de algunas variables significa solo una limitación en el modelo. Por lo tanto, a veces se usa la designación , - el número de variables exógenas, - el número de rezagos. La imposición de restricciones a los coeficientes de este modelo conduce a ciertas variaciones. En esta designación, el modelo clásico se denotará como . $X$ $ADL(p,q_{1},q_{2},\dots,q_{k})$ $k$ $q_{yo}$ $i$ $AVD(p,q;k)$ $k$ $q$ $AVD(p,q)$ $AVD(p,q;1)$

En la práctica, para evaluar tales modelos, la metodología de Box-Jenkins se usa a menudo para evaluar la autorregresión y técnicas especiales para simplificar la estimación del retraso distribuido.

Representación del operador

Usando el operador de retraso , el modelo autorregresivo y el retraso distribuido se pueden escribir de la siguiente manera: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

y_{t}=a_{0}+(\sum_{i=1}^{p}a_{i}L^{i})y_{t}+(\sum_{j=0} ^{q}b_{j}L^{j})x_{t}+\varepsilon _{t}

O en forma abreviada:

a(L)y_{t}=a_{0}+b(L)x_{t}+\varepsilon _{t},~~a(L)=1-(\sum _{i=1 }^{p}a_{i}L^{i}),~~b(L)=(\sum _{j=0}^{q}b_{j}L^{j})

Si las raíces del polinomio autorregresivo característico se encuentran fuera del círculo unitario (en el plano complejo) , entonces el modelo ADL se puede representar como un modelo de rezago distribuido infinito: ${\ estilo de visualización a (z)}$

y_{t}={\frac {a_{0}}{a(L)))+{\frac {b(L)}{a(L)))x_{t}+\varepsilon_{ t}

Si sustituimos el valor 1 en lugar del operador de retardo en esta expresión, obtenemos un modelo de dependencia a largo plazo entre las variables y : $L$ $y$ $X$

y_{t}^{*}={\frac {a_{0}}{a(1)))+{\frac {b(1)}{a(1)))x_{t}^ {*}+\varepsilon _{t}={\frac {a_{0}}{1-\sum_{i=1}^{p}a_{i}}}+{\frac {\sum_{ j=0}^{q}b_{j}}{1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}}}x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}

El coeficiente de la variable exógena se denomina multiplicador a largo plazo . La interpretación significativa de esto es la siguiente. Los modelos rezagados distribuidos (modelos DL) permiten tener en cuenta la influencia rezagada de los factores (junto con la actual). Los coeficientes del modelo DL se denominan multiplicadores de cantidad de movimiento . Muestran el efecto del desfase del período sobre una variable endógena. Sin embargo, varios valores de rezago del factor influyen en cada momento del tiempo, por lo tanto, en el largo plazo, el coeficiente de influencia del factor (multiplicador de largo plazo) es igual a la suma de los multiplicadores de impulso. Añadir la parte autorregresiva al modelo de rezagos distribuidos permite tener en cuenta, además de la influencia directa, la indirecta, a través de la influencia de los valores pasados de la variable dependiente sobre sus valores futuros. El denominador de la fórmula del multiplicador a largo plazo tiene en cuenta el aumento autorregresivo del efecto multiplicador. $b_{j}$ $j$

Basado en la presencia de un modelo a largo plazo, el modelo ADL se puede representar de una forma ligeramente diferente: en la representación ECM ( modelo de corrección de errores en inglés - modelo de corrección de errores):

\triángulo y_{t}=\sum_{i=1}^{p-1}\alpha_{i}\triángulo y_{ti}+\sum_{j=0}^{q-1 }\beta _{j}\triángulo x_{tj}-a(1)(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{a(1)))-{\frac {b(1 )}{a(1)}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}

La expresión entre paréntesis refleja la desviación de la dependencia a largo plazo en el momento anterior. El resto de la ecuación refleja la dependencia a corto plazo. Así, desde esta perspectiva, es claro que la dinámica de corto plazo se corrige en función del grado de desviación del largo plazo.

Ejemplo

Considere un modelo : ${\ Displaystyle AVD (1,1)}$

y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t}

La representación ECM de este modelo es:

\triángulo y_{t}=b_{0}\triángulo x_{t}+(1-a_{1})(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{1-a_ {1}}}-{\frac{b_{0}+b_{1}}{1-a_{1}}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}

Así, la dependencia a corto plazo se expresa por el coeficiente de reacción ante un cambio en un factor con respecto al período anterior. Sin embargo, esta respuesta se ajusta por la desviación de la relación a largo plazo entre las variables. El multiplicador a largo plazo en este caso es igual a $b_{0}$ ${\ estilo de visualización (b_{0}+b_{1})/(1-a_{1})}$

Modelo autorregresivo y de rezagos distribuidos

Representación del operador

Ejemplo

Véase también