Modelo de electrones libres

El modelo de electrones libres , también conocido como modelo de Sommerfeld o modelo de Drude-Sommerfeld, es un modelo cuántico simple del comportamiento de los electrones de valencia en un átomo de metal , desarrollado por Arnold Sommerfeld basándose en el modelo clásico de Drude , teniendo en cuenta el modelo de Fermi. -Estadística mecánica cuántica de Dirac. Los electrones del metal se tratan en este modelo como un gas de Fermi .

La diferencia entre el modelo de Sommerfeld y el modelo de Drude es que no todos los electrones de valencia del metal participan en procesos cinéticos, sino solo aquellos que tienen energía dentro del rango de la energía de Fermi , donde es la constante de Boltzmann , T es la temperatura. Esta limitación surge del principio de Pauli , que prohíbe que los electrones tengan los mismos números cuánticos . Como consecuencia, a temperaturas finitas, los estados de baja energía se llenan, lo que evita que los electrones cambien su energía o dirección de movimiento. $k_{B}T$ $k_B$

A pesar de su simplicidad, el modelo explica muchos fenómenos diferentes, entre ellos:

la ley de Wiedemann-Franz ;
dependencia de la temperatura de la capacidad calorífica ;
conductividad eléctrica ;
emisión termoiónica ;
forma de la densidad de estados de electrones;
el rango de energías de enlace.

Ideas principales y supuestos

Si en el modelo de Drude los electrones de un metal se dividían en ligados y libres, entonces en la mecánica cuántica, debido al principio de identidad de las partículas, los electrones están colectivizados y pertenecen a todo el cuerpo sólido. Los núcleos de los átomos metálicos forman una red cristalina periódica, en la que, según el teorema de Bloch, los estados de los electrones se caracterizan por un cuasi-momentum . El espectro de energía de los electrones metálicos se divide en zonas, la más importante de las cuales es la banda de conducción parcialmente llena formada por electrones de valencia.

El modelo de Sommerfeld no especifica la ley de dispersión de los electrones en la banda de conducción, asumiendo únicamente que las desviaciones de la ley de dispersión parabólica de las partículas libres son insignificantes. En la aproximación inicial, la teoría desprecia la interacción electrón-electrón, considerando a los electrones como un gas ideal. Sin embargo, para explicar los procesos cinéticos, como la conductividad eléctrica y térmica, la dispersión de electrones entre sí, las vibraciones de la red cristalina y los defectos, se debe tener en cuenta. Al considerar estos fenómenos, es importante conocer la distribución de energía de las partículas. Por lo tanto, la ecuación de Boltzmann se utiliza para describir la cinética electrónica . El campo electrostático dentro del conductor se considera débil debido al blindaje.

Energía y función de onda de un electrón libre

La ecuación de Schrödinger para un electrón libre tiene la forma [1] [2] [3]

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r},t)=i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial t}}\Psi(\mathbf{r},t)

La función de onda se puede dividir en partes espaciales y temporales. La solución a la ecuación dependiente del tiempo es ${\ estilo de visualización \ Psi (\ mathbf {r}, t)}$

{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t))

con energia

E=\hbar\omega

La solución de la parte espacial independiente del tiempo es

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega_{r))))e^{i\mathbf {k} \ cdot \mathbf {r} }

con vector de onda . tienen el volumen de espacio donde puede estar un electrón. La energía cinética de un electrón viene dada por la ecuación: $\matemáticas {k}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {r}}$

E={\frac {\hbar^{2}k^{2}}{2m}}

La solución de onda plana de esta ecuación de Schrödinger es

\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r})))e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

La física del estado sólido y la física de la materia condensada se ocupan principalmente de la solución independiente del tiempo . ${\ estilo de visualización \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$

Teniendo en cuenta la periodicidad de la red cristalina según el teorema de Bloch cambia esta función a

\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r})))\phi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf { k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

donde es una función periódica. La dependencia de la energía del vector de onda también cambia. Para tener en cuenta estas modificaciones, se utilizan ampliamente varios modelos de hamiltonianos, por ejemplo: la aproximación de electrones casi libres, la aproximación de acoplamiento estrecho, etc. ${\ estilo de visualización \ phi (\ mathbf {r})}$

Fermi energía

El principio de Pauli prohíbe que los electrones tengan funciones de onda con los mismos números cuánticos. Para un electrón descrito por una onda de Bloch, el cuasi-momento y el espín son números cuánticos. El estado fundamental del gas de electrones corresponde a la situación en la que todos los estados de un electrón con la energía más baja se llenan hasta cierta energía , que se denomina energía de Fermi. Para la zona parabólica, la energía se da como $E_F$

E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

dicho relleno significa que todos los estados con un vector de onda menor que , que se denomina vector de onda de Fermi, están ocupados. El vector de Fermi es $|\mathbf {k} |<k_{F}$ $k_{F}$

k_{F}=(3\pi ^{2}N_{e}/V)^{1/3}

donde es el número total de electrones en el sistema, y V es el volumen total. Entonces la energía de Fermi $Nordeste$

E_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N_{e}}{V}}\right)^ {2/3}

En la aproximación de electrones casi libres , el metal de valencia debe ser reemplazado por , donde es el número total de iones metálicos. $Z$ $Nordeste$ ${\ estilo de visualización de Nueva Zelanda}$ $norte$

Distribución de energía de los electrones

A temperatura distinta de cero, el subsistema electrónico del metal no está en el estado fundamental, sin embargo, la diferencia seguirá siendo relativamente pequeña si , que suele ser el caso. La probabilidad de que un estado de un electrón con energía E esté ocupado está dada por la función de Fermi $k_{B}T\ll E_{F}$

f(E)={\frac {1}{e^{(E-E_{F})/k_{B}T}+1}}

¿ Dónde está el nivel de Fermi? A la temperatura del cero absoluto , ¿dónde está el potencial químico ? ${\ estilo de visualización E_ {F}}$ $E_{F}=\mu$ $\mu$

Predicciones de la teoría

El modelo le permite describir correctamente una serie de propiedades de los metales y sus cambios asociados con la temperatura.

Capacidad calorífica

Cuando se calienta, la energía se transfiere a los electrones del metal. Sin embargo, los electrones cuya energía es menor que la energía de Fermi no pueden cambiar de estado. Para ello tendrían que pasar a un estado de mayor energía, que ya está ocupado con mucha probabilidad por otro electrón, y el principio de Pauli lo prohíbe. Por lo tanto, solo los electrones con energías cercanas a la energía de Fermi pueden recibir energía. Hay pocos electrones de este tipo, aproximadamente . Por lo tanto, a altas temperaturas, la contribución del subsistema electrónico a la capacidad calorífica del metal es pequeña en comparación con la contribución de los átomos de la red cristalina. $N_{e}k_{B}T/E_{F}\ll N_{e}$

La situación cambia a bajas temperaturas, inferiores a la temperatura de Debye , cuando la capacidad calorífica de la red es proporcional a , mientras que la capacidad calorífica del subsistema electrónico es proporcional a . Entonces domina la contribución de los electrones a la capacidad calorífica, y la capacidad calorífica del metal, a diferencia de los dieléctricos, es proporcional a la temperatura. ${\ estilo de visualización T^{3}}$ $T$

Conductividad eléctrica

El modelo de Sommerfeld ayudó a superar el problema del modelo de Drude con el valor del camino libre medio de los electrones. En el modelo de Drude, la densidad de corriente eléctrica viene dada por la fórmula

\mathbf {j} =n{\frac {e^{2}\tau}{m}}\mathbf {E}

donde es la densidad electrónica y es el tiempo de relajación. Si es igual al número de electrones de valencia en un sólido, entonces para obtener valores reales de la conductividad de los metales, el tiempo de relajación y, por lo tanto, el camino de los electrones, debe ser pequeño, lo que contradice la teoría de los gases ideales. En el modelo de Sommerfeld , la fracción de electrones con energías cercanas a la energía de Fermi. Es proporcional a un valor pequeño . Entonces, hay relativamente pocos electrones que pueden ser acelerados por un campo eléctrico en el metal, pero la longitud de su camino es grande. $norte$ $\tau$ $norte$ $norte$ $k_{B}T/E_{F}$

Notas

↑ Alberto Mesías. Mecánica Cuántica (neopr.) . - Publicaciones de Dover , 1999. - ISBN 0-486-40924-4 .
↑ Stephen Gasiorowicz . Física Cuántica (neopr.) . -Wiley & Sons , 1974. -ISBN 0-471-29281-8 .
↑ Eugenio Merzbacher. Mecánica Cuántica (neopr.) . — 3er. -Wiley & Sons , 2004. -ISBN 978-9971-5-1281-1 .

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