Matriz no singular

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Una matriz no singular (de lo contrario , una matriz no singular ) es una matriz cuadrada , cuyo determinante es distinto de cero. De lo contrario, se dice que la matriz está degenerada .

Para una matriz cuadrada con elementos de algún campo, la no singularidad es equivalente a cada una de las siguientes condiciones:

• es invertible, es decir, hay una matriz inversa [1] ;
• las filas (columnas) de la matriz son linealmente independientes [2] ;
• el rango de una matriz es igual a su dimensión [3] .

El conjunto de todas las matrices de orden no degeneradas forma un grupo denominado grupo lineal completo . El papel de la operación de grupo en él lo desempeña la multiplicación de matrices habitual. El grupo lineal general generalmente se denota como [4] . Si desea especificar explícitamente a qué campo deben pertenecer los elementos de la matriz, escriba [5] . Entonces, si los elementos son números reales , se denota el grupo lineal completo de orden , y si son números complejos , entonces .

Se sabe que la matriz de orden no es degenerada si es [6] :

• una matriz diagonal con elementos diagonales distintos de cero (tales matrices forman un grupo );
• matriz triangular superior con elementos diagonales distintos de cero (tales matrices forman un grupo );
• matriz triangular inferior con entradas diagonales distintas de cero;
• matriz unitriangular (es decir, matrices triangulares superiores cuyas entradas diagonales son iguales a 1; tales matrices forman un grupo ).
• la matriz es el resultado de sacar el exponente de la matriz de la matriz , es decir

Notas

1. ↑ Kostrikin, 1977 , pág. 126.
2. ↑ Kostrikin, 1977 , pág. 127.
3. ↑ Kostrikin, 1977 , pág. 129-130.
4. ↑ Rokhlin, Fuchs, 1977 , pág. 271.
5. ↑ Kostrikin, Manin, 1986 , pág. 34.
6. ↑ Gantmakher, 1966 , pág. 28

Literatura

• Kostrikin, A. I. Introducción al álgebra. —M.:Nauka, 1977. — 496 p. (Ruso)
• Kostrikin, A. I. , Manin, Yu. I. Álgebra lineal y geometría. —M.:Nauka, 1986. — 304 p. (Ruso)
• Rokhlin, V. A. , Fuchs, D. B. Un curso inicial de topología. Capítulos geométricos. —M.:Nauka, 1977. (Ruso)
• Gantmakher, F. R. Teoría de la matriz. - 2ª ed., adicional .. -M .:Nauka, 1966. - 576 p. (Ruso)