La continuidad según Scott es una propiedad de las funciones sobre conjuntos parcialmente ordenados , que se expresa en la conservación de la cota superior exacta con respecto a la relación de orden parcial .
La topología de Scott es una estructura sobre un retículo completo o, más generalmente, sobre un conjunto completo parcialmente ordenado , en el que los conjuntos superiores se consideran abiertos que son inaccesibles a las conexiones directas, o de manera equivalente, una topología dentro de la cual funciona sobre conjuntos parcialmente ordenados que conservan el límite superior exacto, son continuos [1] .
Los conceptos fueron desarrollados en la década de 1970 por Dana Scott , gracias a ellos se construyó el primer modelo consistente del cálculo λ no tipado y la semántica denotacional . En particular, las funciones de aplicación y curry son continuas en el sentido de Scott [2] .
Si y son conjuntos parcialmente ordenados, entonces la función entre ellos es continua de Scott si para cualquier subconjunto dirigido hay un límite superior mínimo de su imagen y se cumple la siguiente condición: .
La topología de Scott en un poset completo se introduce definiendo un conjunto abierto que tiene las siguientes propiedades:
La topología de Scott se introdujo por primera vez para redes completas [4] , luego se generalizó para completar conjuntos parcialmente ordenados [3] .
La categoría cuyos objetos son conjuntos completos parcialmente ordenados y cuyos morfismos son aplicaciones continuas en el sentido de Scott se denota por .
Las funciones continuas de Scott son siempre monótonas con respecto a la relación de orden parcial .
Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es cerrado en la topología de Scott si y solo si es un conjunto inferior e incluye los límites mínimos superiores de todos sus subconjuntos [5] .
Un conjunto completo parcialmente ordenado dotado de la topología de Scott es siempre un espacio T 0 y uno de Hausdorff si y sólo si la relación de orden es trivial [5] .
Para cualquier función continua de Scott que mapee un poset completo sobre sí mismo, se cumple el teorema de Kleene , según el cual cada mapeo tiene un único punto fijo más pequeño . Además, la aplicación definida sobre el conjunto de funciones continuas de Scott y que devuelve para cada función el valor de su punto fijo ( ), es en sí misma continua de Scott [6] .
La categoría es cartesiana cerrada [7] .
Una construcción cercana en propiedades a la topología de Scott es la categoría de -espacios desarrollada por Yuri Ershov en 1975 [8] — también se puede usar para construir un modelo consistente del cálculo λ. Como ventaja, se observa [9] que la categoría de -espacios es cartesiana cerrada, cada objeto en él es un espacio topológico, la topología sobre el producto es el producto de las topologías de factores, y la topología en el espacio de funciones resulta ser la topología de la convergencia puntual . La topología de Scott no tiene propiedades tan convenientes; en particular, el producto de topologías de Scott sobre conjuntos completos parcialmente ordenados no es, en el caso general, una topología de Scott sobre un producto de conjuntos.