Función implícita

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Una ecuación implícita es una relación de la forma , donde R es una función de varias variables (a menudo un polinomio ). Por ejemplo, la ecuación implícita del círculo unitario es . $R(x_{1},\dots,x_{n})=0$ ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}-1=0}$

Una función implícita es una función definida por una ecuación implícita como una conexión de una de las variables (valor) con otras variables (argumentos) [1] . Por tanto, la función implícita y en el contexto del círculo unitario está implícitamente definida por la ecuación . Esta ecuación implícita define f como una función de x si y solo se consideran valores no negativos (o solo no positivos) de la función. ${\ estilo de visualización x^{2}+f(x)^{2}-1=0}$ $-1\leqslant x\leqslant 1$

El teorema de la función implícita da condiciones bajo las cuales algún tipo de relación determina una función implícita, es decir, relaciones definidas como un indicador del conjunto de ceros de alguna función continuamente diferenciable de muchas variables .

Ejemplos

Funciones inversas

Un tipo típico de función implícita es la función inversa . No todas las funciones tienen una sola función inversa. Si g es una función de x que tiene un único inverso, entonces el inverso de g , denotado por , es la única función que resuelve la ecuación $g^{{-1}}$

{\ estilo de visualización y = g (x)}

por x en términos de y . La solución puede escribirse entonces como:

{\ estilo de visualización x = g ^ {-1} (y) \,.}

La definición como función inversa para g es una definición implícita. Para algunas funciones g , la función se puede escribir en forma cerrada . Por ejemplo, si , tenemos . Sin embargo, esto a menudo no es posible o solo se puede hacer mediante la introducción de notación adicional (como para la función W de Lambert en el ejemplo a continuación). $g^{{-1}}$ ${\ estilo de visualización g ^ {-1} (y)}$ ${\ estilo de visualización g (x) = 2x-1}$ $g^{-1}(y)={\tfrac{1}{2}}(y+1)$

Intuitivamente, la función inversa se obtiene de g invirtiendo los roles de las variables.

Ejemplo. La función w de Lambert es una función implícita que da soluciones en x a la ecuación .

y-xe^{x}=0

Funciones algebraicas

Una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes son en sí mismos polinomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x da una solución para y de la ecuación

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

donde los coeficientes son polinomios en x . Esta función algebraica se puede escribir como el lado derecho de la solución de la ecuación . Si se escribe de esta manera, la función f resulta ser una función implícita multivaluada . ${\ estilo de visualización a_ {i} (x)}$ $y=f(x)$

Las funciones algebraicas juegan un papel importante en el cálculo y la geometría algebraica . El lado izquierdo de la ecuación del círculo unitario da un ejemplo simple de una función algebraica:

{\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}-1=0\,.}

Resolviendo la ecuación en y da una solución explícita:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.

Pero incluso sin especificar una solución explícita, se puede especificar una solución implícita de la ecuación del círculo unitario como , donde f es una función implícita multivaluada. $y=f(x)$

Si bien se puede encontrar una solución explícita para ecuaciones cuadráticas , cúbicas y cuárticas , esto no suele ser cierto para las ecuaciones quínticas y superiores, como

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

Sin embargo, uno puede continuar refiriéndose a la solución implícita usando la función implícita multivaluada f . $y=f(x)$

Advertencias

No todas las ecuaciones conducen a un gráfico de una función de un solo valor, la ecuación de un círculo es un buen ejemplo. Otro ejemplo es la función implícita definida por la ecuación , donde C es un polinomio cúbico que tiene una "joroba" en el gráfico. Entonces, para que la función implícita sea una función verdadera (uno a uno), solo se necesita usar una parte del gráfico. Una función implícita solo se puede definir con éxito como una función verdadera después de "reducir el campo" en alguna parte del eje x y "cortar" algunas ramas de funciones no deseadas. Después de eso, puede escribir la expresión de y como una función implícita de las variables restantes. ${\ estilo de visualización R (x, y) = 0}$ ${\ estilo de visualización xC (y) = 0}$

La definición de una función por igualdad también puede tener otras patologías. Por ejemplo, la igualdad no implica ninguna función que dé una solución para y , ya que es una línea vertical. Para evitar problemas como este, a menudo se plantean varias restricciones en las ecuaciones o en el dominio de la función . El teorema de la función implícita proporciona un enfoque unificado para tratar este tipo de patología. ${\ estilo de visualización R (x, y) = 0}$ $x=0$ $f(x)$

Diferenciación implícita

En el análisis matemático , una técnica llamada diferenciación implícita utiliza la diferenciación de funciones complejas para diferenciar funciones implícitamente dadas.

Para diferenciar una función implícita definida por una ecuación , por lo general no se puede simplemente resolver la ecuación explícitamente para y y luego derivar. En cambio , uno puede encontrar la derivada total con respecto a xey y luego resolver la ecuación lineal resultante con respecto a para obtener la derivada en términos de xey . Incluso si es posible resolver la ecuación original de forma explícita, la fórmula derivada de la derivada total de la función suele ser más sencilla y cómoda de usar. $y(x)$ ${\ estilo de visualización R (x, y) = 0}$ ${\ estilo de visualización R (x, y) = 0}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$

Ejemplos

Ejemplo 1. Considere

{\ estilo de visualización y+x+5=0\,.}

Esta ecuación es fácil de resolver para y , lo que da

y=-x-5\,,

donde el lado derecho es la representación explícita de la función . La diferenciación da . $y(x)$ ${\tfrac{dy}{dx}}=-1$

Sin embargo, puedes diferenciar la ecuación original:

{\begin{alineado}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,; \\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{alineado}}

Resolviendo para , obtenemos ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$

{\frac {dy}{dx}}=-1\,,

y obtenemos la misma respuesta que antes.

Ejemplo 2. Un ejemplo de una función implícita, para la cual la diferenciación implícita es más fácil que la explícita, es la función expresada por la ecuación $y(x)$

{\ estilo de visualización x^{4}+2y^{2}=8\,.}

Para diferenciar explícitamente con respecto a x , primero reescribimos la igualdad como

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,

Ahora vamos a diferenciar esta función. Esto crea dos derivadas, una para y otra para . $y\geqslant0$ ${\ estilo de visualización y <0}$

Es mucho más fácil realizar la diferenciación implícita de la ecuación original:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,

lo que da

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.

Ejemplo 3. A menudo es difícil o incluso imposible resolver la ecuación explícitamente con respecto a y , y la diferenciación implícita se convierte en el único método de diferenciación válido. Un ejemplo es la ecuación

{\ estilo de visualización y^{5}-y=x\,.}

Es imposible expresar algebraicamente y como una función de x , por lo que no se puede encontrar por diferenciación explícita. Usando el método implícito se puede obtener derivando la ecuación, lo que da ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,

donde _ sacar y recibir ${\tfrac{dx}{dx}}=1$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$

\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,

lo que da como resultado la expresión

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,

que se define para

y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5))}\quad

\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.

Fórmula para la derivada de una función implícita

si , entonces ${\ estilo de visualización R (x, y) = 0}$

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\parcial R}{\parcial x}}\,}{\frac {\parcial R}{\parcial y ))}=-{\frac{R_{x}}{R_{y}}}\,,

donde y denotan las derivadas parciales de la función R con respecto a xey , respectivamente . [2] $R_{x}$ $R_{y}$

La fórmula anterior se obtiene de una variante multidimensional de diferenciar una función compleja para obtener la derivada total de la función con respecto a x en ambos lados de la expresión : ${\ estilo de visualización R (x, y) = 0}$

{\frac {\parcial R}{\parcial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\parcial R}{\parcial y}}{\frac {dy}{dx }}=0\,,

Como consecuencia

{\frac {\parcial R}{\parcial x))+{\frac {\parcial R}{\parcial y)){\frac {dy}{dx))=0\,,

de donde, al resolver relativo, obtenemos la expresión anterior. ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$

Teorema de la función implícita

Sea una función derivable de dos variables, y sea un par de números reales tales que . Si , la igualdad define una función implícita que es derivable en alguna vecindad suficientemente pequeña del punto . En otras palabras, existe una función diferenciable f que está definida y es diferenciable en alguna vecindad del punto a tal que para x en esa vecindad. ${\ estilo de visualización R (x, y)}$ $(a, b)$ $R(a,b)=0$ ${\tfrac {\parcial R}{\parcial y))\neq 0$ ${\ estilo de visualización R (x, y) = 0}$ $(a, b)$ ${\ Displaystyle R (x, f (x)) = 0}$

La condición significa que es un punto regular de la curva implícita de la ecuación , donde la tangente no es vertical. ${\tfrac {\parcial R}{\parcial y))\neq 0$ $(a, b)$ ${\ estilo de visualización R (x, y) = 0}$

En un lenguaje más simple (menos preciso), existen funciones implícitas y se pueden diferenciar si la curva no tiene una tangente vertical [2] .

En geometría algebraica

Considere una relación de la forma , donde R es un polinomio en varias variables. El conjunto de valores de las variables que satisfacen esta relación se denomina curva implícita si y superficie implícita si . Las ecuaciones implícitas forman la base de la geometría algebraica , cuyo tema principal es la solución simultánea de varias ecuaciones implícitas, cuyos lados izquierdos son polinomios. Estos conjuntos de soluciones se denominan conjuntos algebraicos afines . $R(x_{1},\dots,x_{n})=0$ $n=2$ $n=3$

En la teoría de ecuaciones diferenciales

Las soluciones de ecuaciones diferenciales suelen expresarse mediante funciones implícitas [3] .

Aplicaciones en economía

Tasa marginal de sustitución

En economía , donde el nivel establecido es una curva de indiferencia para las cantidades x e y de consumibles, el valor absoluto de la derivada implícita se interpreta como la tasa marginal de sustitución de dos materiales: cuánto se necesita y para no notar la pérdida de una unidad de material x . ${\ estilo de visualización R (x, y) = 0}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$

Tasa marginal de sustitución técnica

De manera similar, a veces el conjunto de niveles es una isocuanta que muestra las diversas combinaciones de fuerza de trabajo L y capital de producción K que dan como resultado la producción de una determinada cantidad de productos. En este caso, el valor absoluto de la derivada implícita se interpreta como la tasa marginal de sustitución técnica entre dos factores de producción : cuánto más capital necesitará una empresa para producir la misma cantidad de producción por unidad de trabajo. ${\ estilo de visualización R (L, K)}$ ${\tfrac {dK}{dL}}$

Optimización

A menudo, en la economía teórica , alguna función, como una función de utilidad o beneficio , se maximiza sobre un vector x , incluso si la función objetivo no está restringida a una forma particular. El teorema de la función implícita garantiza que las condiciones de primer orden del problema de optimización definen una función implícita para cada elemento del vector óptimo . En el caso de la maximización de beneficios, la función implícita suele ser la necesidad de mano de obra y la oferta de diversos productos. Si se maximiza la utilidad, las funciones implícitas suelen ser los recursos laborales y las curvas de demanda de varios productos. ${\ estilo de visualización x *}$

Además, la influencia de los parámetros del problema sobre las - derivadas parciales de la función implícita - puede expresarse mediante un sistema de derivadas totales de primer orden hallado a partir de la derivada total de la función . ${\ estilo de visualización x *}$

Notas

↑ Chiang, 1984 , pág. 204–206.
↑ 1 2 Stewart, 1998 , pág. §11.5.
↑ Kaplan, 2003 .

Literatura

Alfa C Chiang. Métodos Fundamentales de Economía Matemática . - Tercero. - Nueva York: McGraw-Hill, 1984. - ISBN 0-07-010813-7 . (Es necesario registrarse para acceder al libro)
Wilfredo Kaplan. Cálculo Avanzado. - Boston: Addison-Wesley, 2003. - ISBN 0-201-79937-5 .
James Estuardo. Conceptos y contextos de cálculo . - Brooks/Cole Publishing Company, 1998. - ISBN 0-534-34330-9 . (Es necesario registrarse para acceder al libro)

Lectura para leer más

Binmore KG Funciones implícitas // Cálculo. - Nueva York: Cambridge University Press, 1983. - S. 198-211. - ISBN 0-521-28952-1 .
Walter Rudin. Principios del Análisis Matemático . - Boston: McGraw-Hill , 1976. - págs . 223-228 . — ISBN 0-07-054235-X .
- Traducción de U. Rudin. Fundamentos del análisis matemático. - M. : "Mir", 1976.
Carl P. Simon, Lawrence Blume. Funciones implícitas y sus derivadas // Matemáticas para economistas . - Nueva York: W. W. Norton, 1994. - S. 334-371 . — ISBN 0-393-95733-0 .

Enlaces

Diferenciación implícita, ¿qué está pasando aquí? (3 de mayo de 2017). (indefinido)