Grupo nilpotente
Un grupo nilpotente es una generalización natural del concepto de grupo abeliano .
Los grupos nilpotentes aparecen en la teoría de Galois , así como en trabajos sobre la clasificación de grupos. También juegan un papel destacado en la clasificación de los grupos de Lie . Se definen nociones similares para las álgebras de Lie .
Definición
Un grupo nilpotente es un grupo que tiene una serie central de longitud finita.
Definiciones relacionadas
- La longitud de la serie central más corta de un grupo nilpotente se denomina clase ( o paso ) de nilpotencia .
- Todos los grupos nilpotentes de la clase de nilpotencia ya no forman una variedad definida por la identidad
- Los grupos libres de esta variedad, es decir, los grupos que satisfacen únicamente dichas relaciones , se denominan grupos nilpotentes libres .
![[\ldots [[x_{0},\;x_{1}],\;x_{2}],\;\ldots,\;x_{n}]=1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c5e9593a6c007fc648c16f8ae352f2ed63c95e)
Propiedades
- En cualquier grupo nilpotente, la serie central inferior (y también la superior) termina en el subgrupo identidad y tiene una longitud igual a la clase de nilpotencia del grupo.
- Los grupos nilpotentes finitos se agotan mediante productos directos de -grupos .
- En cualquier grupo nilpotente, los elementos de orden finito forman un subgrupo cuyo grupo cociente está libre de torsión .
- Los grupos nilpotentes sin torsión generados finitamente se agotan con los grupos de matrices triangulares enteras con unos en la diagonal principal y sus subgrupos.
- Los grupos nilpotentes generados finitamente son grupos policíclicos , además, tienen una serie central con factores cíclicos .
- Cualquier grupo nilpotente sin torsión generado finitamente es una red en un grupo de Lie nilpotente simplemente conectado .
