Factor de normalización

El factor de normalización es un factor por el cual se multiplica la expresión matemática para que después de eso cualquier parámetro significativo sea igual a 1. La selección del factor de normalización se llama normalización ( normalization ).

La mayoría de las veces, nos referimos a la situación en la que una función no negativa o todos los miembros de una serie numérica se multiplican por el factor de normalización, de modo que la integral de la función en el dominio de definición o la suma de los términos de la serie es igual a una. Entonces el factor es un número positivo o una expresión algebraica independiente de los argumentos de la función. Un procedimiento de normalización similar se utiliza en la teoría de la probabilidad y en varios campos de la física ( física estadística , mecánica cuántica , teoría del espectro y otros). Después de la normalización, la función puede considerarse como una densidad de distribución y la serie como una serie de distribución .

Sin embargo, los conceptos de "factor de normalización", "normalización" también se utilizan en otras situaciones no relacionadas con las estadísticas. En este caso, el objetivo de la normalización puede ser llevar los datos a algo más conveniente.

Factor de normalización en estadísticas

Las tareas relacionadas directa o indirectamente con las estadísticas constituyen el principal ámbito de aplicación de los factores de normalización. El significado general es imponer el requisito de que la probabilidad total de todos los eventos posibles sea igual a uno [1] .

Procedimiento de normalización

Si es una función no negativa definida en el intervalo , entonces el factor de normalización es $\fi(x)$ ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{2))$ $A$

A=\left[\int _{x_{1}}^{x_{2}}\phi (x)\,dx\right]^{-1}

en este caso, la función se normalizará. La normalización se realiza de manera similar en el caso multidimensional. $f(x)=A\cdot\phi(x)$

Si ( ) son miembros de una serie numérica no negativa, el factor de normalización se encuentra como $p(x_{n})$ $n=1,\,\,2,\ldots$ $A$

{\displaystyle A=\left[\sum \limits _{n}p(x_{n})\right]^{-1))

en este caso, la secuencia tendrá el significado de una serie de distribución, es decir, una lista de probabilidades de realizar un valor discreto . $P(x_{n})=A\cdot p(x_{n})$ $x_{n}$

La necesidad de normalización

Las distribuciones más significativas y frecuentes, por regla general, ya se registran con normalización, es decir, no se requieren procedimientos adicionales. Por ejemplo, la distribución normal de una cantidad (con una desviación estándar ) tiene la forma analítica $X$ $\sigma$

f(x)=A\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{{\ raíz cuadrada {2\pi }}\sigma }}\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)

Aquí se asume el dominio de definición y se cumple la condición . $-\infty \ldots +\infty$ $\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$

Sin embargo, en situaciones menos comunes, puede ser necesaria la selección de un factor de normalización. Digamos que a veces es necesario reducir el dominio de la definición (por ejemplo, en el ejemplo anterior, considere el dominio no , sino ; luego se convierte en ). No es raro que una distribución se especifique “hasta un factor constante”, es decir, en la forma “ [expresión]” y se supone que este factor constante se encontrará por normalización. $X$ $-\infty \ldots +\infty$ $-\infty\ldots 0$ $A=2/{\sqrt {2\pi }}\sigma$ ${\ estilo de visualización \ phi (x) \ sim}$

Ejemplos del campo de la física

Ejemplo 1 . La distribución de Maxwell para los módulos de velocidad de las moléculas de un gas ideal tiene la forma ( - constante de Boltzmann, - temperatura, - masa de una molécula). Para garantizar la normalización, el factor de normalización debe ser igual a . ${\ estilo de visualización \ phi (v) \ sim v ^ {2} \ cdot \ exp (-mv ^ {2}/2kT)}$ $k$ $T$ $metro$ $1=\int _{0}^{+\infty }f(v)dv=\int _{0}^{+\infty }A\phi (v)dv$ $A$ ${\displaystyle 4\pi (m/2\pi kT)^{3/2))$

Ejemplo 2 . El estado de una partícula en la mecánica cuántica viene dado por la función de onda . El cuadrado del módulo de esta función tiene el significado de la densidad de probabilidad de detectar una partícula en el punto ( , , ). En este caso se debe cumplir la relación , donde la integración se realiza sobre todo el volumen en el que puede estar la partícula [2] . ${\ estilo de visualización \ psi (x, \, y, \, z)}$ $X$ $y$ $z$ $\iiiint |\psi (x,\,y,\,z)|^{2}dxdydz=1$

Ejemplo 3 . El espectro electromagnético o acústico continuo se puede dar en función (dimensión W /m 2 / Hz ), - frecuencia, - intensidad total en W/m 2 . En este caso , la densidad de distribución de frecuencias en el espectro juega un papel y la igualdad debe mantenerse . Si el espectro es discreto, puede especificarse mediante un conjunto de pares de frecuencia-intensidad ( , ). En este caso , y la serie de distribución de frecuencias estará compuesta por términos , donde . $yo\cdot g(\nu )$ $\nu$ $yo$ ${\ estilo de visualización g (\ nu)}$ $\int _{0}^{+\infty}g(\nu)d\nu =1$ ${\ estilo de visualización \ nu _ {n}}$ $En}$ $\sum_{n}I_{n}=I$ $P(\nu _{n})=I_{n}/I$ ${\ estilo de visualización \ suma _ {n} P (\ nu _ {n}) = 1}$

Factores de normalización fuera de las estadísticas

Los factores de normalización también se utilizan cuando se desea lograr que algún valor (no necesariamente significando la probabilidad total) sea igual a uno.

Si necesita establecer una dirección, a menudo es más conveniente hacerlo con un vector unitario en valor absoluto, es decir, no use ( , son orts en el plano), sino , donde es el factor de normalización. ${\vec {p}}=p_{x}{\vec {e}}_{x}+p_{x}{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ ${\vec {e}}=A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{x}+A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{y}$ ${\displaystyle A=(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{-1/2))$

Al trazar gráficos, por ejemplo , si solo es importante la forma de la curva, a veces los valores se normalizan por el valor máximo , es decir, los valores se multiplican a lo largo de la ordenada por el factor de normalización ; entonces el valor vertical más grande será 1. También se practica cambiar a unidades relativas (a lo largo de uno o ambos ejes) multiplicando por algún valor característico, digamos ; tal acción también puede llamarse normalización, mientras que la unidad (a lo largo del eje ) corresponde al valor característico. $y(x)$ ${\ Displaystyle y_ {máx})$ ${\displaystyle y_{máx}^{-1))$ ${\ estilo de visualización x_{0}^{-1))$ ${\ estilo de visualización x/x_{0))$

La normalización (y, en consecuencia, la selección de un factor de normalización) puede ser necesaria no solo para el caso físico anterior de la función de onda, sino también para funciones propias en una clase más amplia de problemas [3] . ${\ estilo de visualización \ int | \ psi | ^ {2} dV = 1}$

Existe el concepto de "ecuación normal de una línea recta " [4] . Su ecuación más familiar ( , , son constantes) se reduce a una normal multiplicando por un factor de normalización , donde el signo es opuesto al de . Después de la multiplicación, la suma de los cuadrados de los números anteriores y se convierte en la unidad. Una situación similar ocurre con la "ecuación normal del plano ". $Hacha+Por+C=0$ $A$ $B$ $C$ ${\ estilo de visualización \ pm (A^{2}+B^{2})^{-1/2}}$ $C$ $X$ $y$

Notas

↑ A. I. Volkovets , A. B. Gurinovich Teoría de la probabilidad y estadística matemática . Minsk, BSUIR (2003), ver f-ly: (4.9), (8.7), (10.8).
↑ P. S. Parfenov Mecánica cuántica. Guía metodológica del taller de física cuántica. San Petersburgo: ITMO (2012), véase 1.1.4. Normalización de funciones de onda .
↑ N. N. Vorobyov Teoría de las series. Moscú: Nauka (1979), véase cap. 8, § 3: Funciones normalizadas y ortogonales .
↑ I. Maltsevskaya Ecuación normal (normalizada) de una línea recta: descripción, ejemplos, resolución de problemas , consulte el servicio educativo Zaochnik.