Densidad de probabilidad

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La densidad de probabilidad es una de las formas de especificar la distribución de una variable aleatoria . En muchas aplicaciones prácticas, los conceptos de "densidad de probabilidad" y "densidad (distribución) de una variable aleatoria " o " función de distribución de probabilidad " son en realidad sinónimos. y significan una función real que caracteriza la probabilidad comparativa de la realización de ciertos valores de una variable aleatoria (variables).

Descripción aplicada del concepto

La densidad de distribución de una variable aleatoria continua unidimensional es una función numérica , cuya relación de valores en los puntos y establece la relación de las probabilidades de que la cantidad caiga en intervalos estrechos de igual ancho y cerca de estos puntos. $\xi$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización f (x_ {1})/f (x_ {2})}$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\xi$ ${\ estilo de visualización [x_{1}, x_ {1} + \ Delta x]}$ ${\ estilo de visualización [x_{2}, x_ {2} + \ Delta x]}$

La densidad de distribución no es negativa para ninguno y está normalizada, es decir, $X$

\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)\,{\mbox{d}}x=1

Cuando tiende a , la función tiende a cero. La dimensión de la densidad de distribución siempre es inversa a la dimensión de una variable aleatoria; si se calcula en metros, entonces la dimensión será m -1 . $X$ ${\ estilo de visualización \, \ pm \ infinito}$ $f(x)$ $\xi$ $F$

Si la expresión para se conoce en una situación particular , se puede usar para calcular la probabilidad de que el valor caiga en el intervalo como $f(x)$ $\xi$ $[a,b]$

P(\xi \in [a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x

Conociendo la densidad de probabilidad, también se puede determinar el valor más probable ( moda ) de una variable aleatoria como máximo . Además, usando la densidad de probabilidad, se encuentra el valor promedio de una variable aleatoria: $f(x)$

E\xi =\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,{\mbox{d}}x

y el valor medio de una función medible de una variable aleatoria: ${\ estilo de visualización g (\ xi)}$

\langle g(\xi )\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)\,{\mbox{d}}x

Para pasar a la densidad de distribución de otra variable aleatoria , necesitamos tomar ${f}_{\chi }(y)$ ${\ estilo de visualización \ chi = z (\ xi)}$

{f}_{\chi }(y)=f(z^{-1}(y))\cdot \left|{\frac {{\mbox{d}}z^{-1}( y)}{{\mbox{d}}y}}\right|

donde es la función inversa con respecto a (se supone que z es un mapeo uno a uno de ). ${\ estilo de visualización z^{-1} (y)}$ ${\ estilo de visualización y = z (x)}$

El valor de la densidad de distribución no es la probabilidad de tomar el valor como una variable aleatoria . Entonces, la probabilidad de tomar un valor por una variable aleatoria continua es igual a cero. Con una distribución continua de una variable aleatoria , se puede plantear la pregunta sobre la probabilidad de que caiga en un cierto rango, y no sobre la probabilidad de realizar su valor específico. $f(x_{1})$ $x_{1}$ $\xi$ $x_{1}$ $\xi$

Integral

\int _{-\infty}^{x}f(t)\,{\mbox{d}}t=F(x)

se denomina función de distribución (respectivamente, la densidad de distribución de probabilidad es la derivada de la función de distribución). La función no es decreciente y cambia de 0 para a 1 para . $F$ $x\to -\infty$ $x\to +\infty$

La distribución más simple es la distribución uniforme en el intervalo . Para él, la densidad de probabilidad es: $[a,b]$

f(x)=\left\{{\begin{matrix}{1 \over ba},&x\in [a,b]\\0,&x\not \in [a,b]\end{ matriz}}\right..

Una distribución bien conocida es la distribución " normal ", que también es gaussiana, cuya densidad se escribe como

f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{ 2\sigma ^{2}}}\derecha]

donde y son los parámetros: expectativa matemática y desviación estándar . Otros ejemplos de densidades de distribución son Laplaciano unilateral ( ): $\mu$ $\sigma$ $\lambda>0$

f(x)=A\exp \left[-\lambda \,x\right]\,\,(x\geq 0)

y ,

{\ estilo de visualización f (x) = 0 \, \, (x <0)}

y maxwelliano ( ): ${\ estilo de visualización \ alfa > 0}$

f(x)=Ax^{2}\exp \left[-\alpha x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

y .

{\ estilo de visualización f (x) = 0 \, \, (x <0)}

En los dos últimos ejemplos, el factor se selecciona en función del parámetro o para asegurar la normalización de la integral de la densidad de probabilidad. En el caso de la distribución de Laplace, resulta que . $A$ $\lambda$ $\alfa$ $A=\lambda$

Tanto estas como otras distribuciones son ampliamente utilizadas en física. Por ejemplo, en el caso de la distribución de Maxwell , el papel de una variable aleatoria generalmente lo juega el valor absoluto de la velocidad de una molécula en un gas ideal . Al mismo tiempo, se suele utilizar el mismo símbolo para el argumento de la función que para la variable aleatoria considerada en el problema físico (como si estuviera en todas partes arriba ). Entonces, en la expresión de la densidad de distribución maxwelliana, escriben no una variable formal , sino un símbolo de velocidad . En las situaciones más simples, tales libertades con la notación no dan lugar a malentendidos. $F$ $\xi$ $X$ $X$ $v$

Disminuyendo a medida que el argumento tiende a o una sección del gráfico de densidad de probabilidad en áreas donde , se llama la cola . De las distribuciones mencionadas, la normal y laplaciana tienen dos colas (a la izquierda y a la derecha), y la maxwelliana en forma escrita tiene una (a la derecha). $+\infty$ $-\infty$ $f(x)$ ${\ Displaystyle f \ ll f_ {max}}$

La esencia del concepto de "densidad de probabilidad" se indicó anteriormente. Sin embargo, tal presentación no es rigurosa: la densidad es a menudo una función de varias cantidades, el razonamiento asumido implícitamente no siempre garantiza la continuidad y la diferenciabilidad de las funciones, etc. $F$

Definición de densidad de probabilidad en la teoría de la medida

La densidad de probabilidad se puede considerar como una forma de especificar una medida de probabilidad en un espacio euclidiano . Sea una medida de probabilidad sobre , es decir, se define un espacio de probabilidad donde denota el σ-álgebra de Borel sobre . Denotemos la medida de Lebesgue en . La probabilidad se llama absolutamente continua (con respecto a la medida de Lebesgue) ( ) si cualquier conjunto Borel de cero medida de Lebesgue también tiene probabilidad cero: $\mathbb{R} ^{n}$ $\matemáticas {P}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb{R} ^{n}$ $metro$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\matemáticas {P}$ $\mathbb{P} \llm$

\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\; ( m(B) = 0 ) \Rightarrow ( \mathbb{P}(B) = 0 ) .

Si la probabilidad es absolutamente continua, entonces, de acuerdo con el teorema de Radon-Nikodym, existe una función de Borel no negativa tal que $\matemáticas {P}$ $f\colon\mathbb{R}^n \to [0,\infty)$

\mathbb{P}(B) = \int\limits_{B} f(x)\, dx

donde se usa la abreviatura convencional , y la integral se entiende en el sentido de Lebesgue . $m(dx) \equiv dx$

De manera más general, sea un espacio medible arbitrario y sean y sean dos medidas en este espacio. Si hay un no negativo , que permite expresar la medida en términos de la medida en la forma $(X, \matemática F)$ $\mu$ $\nu$ $F$ $\nu$ $\mu$

\nu(A) = \int_A fd\mu,

entonces tal función se llama la densidad de la medida con respecto a la medida $\nu$ $\mu$ , o la derivada de Radon-Nikodym de la medida con respecto a la medida $\nu$ $\mu$ , y se denota

f=\frac{d\nu}{d\mu}

Densidad de una variable aleatoria

Deje que se defina un espacio de probabilidad arbitrario y una variable aleatoria (o un vector aleatorio). induce una medida de probabilidad , llamada distribución de la variable aleatoria . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon\Omega\to\mathbb {R} ^{n}$ $X$ $\mathbb{P} ^{X}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right)$ $X$

Si la distribución es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, entonces su densidad se denomina densidad de la variable aleatoria . Se dice que la variable aleatoria en sí es absolutamente continua. $\mathbb{P} ^{X}$ $f_X = \frac{d\mathbb{P}^X}{dx}$ $X$ $X$

Así, para una variable aleatoria absolutamente continua, tenemos:

\mathbb{P}(X \in B) = \int\limits_{B} f_X(x)\, dx

. Notas

No todas las variables aleatorias son absolutamente continuas. Cualquier distribución discreta, por ejemplo, no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue y, por lo tanto, las variables aleatorias discretas no tienen densidad.

La función de distribución de una variable aleatoria absolutamente continua es continua y se puede expresar en términos de densidad de la siguiente manera: $X$

F_X(x_1,\ldots, x_n) = \mathbb{P}\left(X \in \prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right) = \int\limits_{-\ infty}^{x_n} \!\!\ldots \!\!\int\limits_{-\infty}^{x_1} f_X(x'_1,\ldots, x'_n)\, dx'_1\ldots dx '_norte

En el caso unidimensional:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(x')\, dx'

Si , entonces y $f_X \in C(\mathbb{R}^n)$ $F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$

\frac{\parcial^n}{\parcial x_1 \ldots \parcial x_n} F_X(x_1,\ldots, x_n) = f_X(x_1,\ldots, x_n)

En el caso unidimensional:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x)

La expectativa matemática de una función de una variable aleatoria absolutamente continua se puede escribir como:

\mathbb{E}[g(X)] = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x) \, \mathbb{P}^X(dx) = \int\limits_{\mathbb{ R}^n} g(x)\, f_X(x)\, dx

donde es una función de Borel, por lo que es definida y finita. $g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $\mathbb{E}[g(X)]$

Transformación de densidad de una variable aleatoria

Sea una variable aleatoria absolutamente continua, y sea una función inyectiva continuamente diferenciable tal que , donde es el jacobiano de la función en el punto . Entonces la variable aleatoria también es absolutamente continua, y su densidad tiene la forma: $X\colon\Omega\to\mathbb {R} ^{n}$ $g\colon\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ $J_g(x) \not=0,\; \forall x\in \mathbb{R}^n$ $J_g(x)$ $gramo$ $X$ $Y = g(X)$

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \vert J_{g^{-1}}(y) \vert

En el caso unidimensional:

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \left\vert \frac{dg^{-1}}{dy}(y)\right\vert

Propiedades de densidad de probabilidad

La densidad de probabilidad se define en casi todas partes . Si es una densidad de probabilidad y casi en todas partes con respecto a la medida de Lebesgue, entonces la función también es una densidad de probabilidad./ $F$ $\matemáticas {P}$ $f(x)=g(x)$ $gramo$ $\matemáticas {P}$

La integral de la densidad sobre todo el espacio es igual a la unidad:

\mathbb{P}\left(\mathbb{R}^n\right) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1

Por el contrario, si es una función no negativa en casi todas partes tal que , entonces existe una medida de probabilidad absolutamente continua en tal que es su densidad. $f(x)$ $\int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x)\, dx = 1$ $\matemáticas {P}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $f(x)$

Cambio de medida en la integral de Lebesgue:

\int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)\, \mathbb{P}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\, f (x)\, dx

donde es cualquier función de Borel integrable con respecto a la medida de probabilidad . $\varphi ::\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización {} \ mathbb {P}}$

Ejemplos de distribuciones absolutamente continuas

Véase también

Literatura

Densidad de probabilidad // Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.