Paradoja de Bell

La paradoja de Bell es una de las conocidas paradojas relativistas de la teoría especial de la relatividad . En la versión más famosa del propio John Stuart Bell [1] , la paradoja surge al considerar un experimento mental que incluye dos naves espaciales acelerando en la misma dirección y conectándolas con una cuerda estirada al límite (una nave vuela estrictamente por delante de la otra , es decir, la aceleración se dirige a lo largo de la cuerda). Si los barcos comienzan a acelerar sincrónicamente, entonces en el marco de referencia que acompaña a los barcos, la distancia entre ellos comenzará a aumentar y la cuerda se romperá . Por otro lado, en el marco de referencia en el que los barcos estuvieron primero en reposo, la distancia entre ellos no aumenta, y por lo tanto la cuerda no debería romperse . ¿Qué punto de vista es el correcto? Según la teoría de la relatividad, la primera es la ruptura de una cuerda.

Cronológicamente, la primera mención de la paradoja está contenida en el trabajo de E. Dewan y M. Beran en 1959 [2] , quienes consideraron el resultado de tal experimento mental como confirmación de la realidad de la contracción relativista de los cuerpos .

El físico soviético D. V. Skobeltsyn dio una explicación suficientemente detallada del efecto de una rotura de cable que conecta cohetes acelerados sincrónicamente en su libro "Twin Paradox in the Theory of Relativity". El libro fue escrito en 1959 y publicado en 1966 [3] .

Experimento mental de Bell

En la versión de Bell, dos naves espaciales, inicialmente en reposo en relación con algún marco de referencia inercial (ISR) , están conectadas por una cuerda estirada hasta el límite. A la hora cero según el reloj de la ISO correspondiente, ambas naves comienzan a acelerar con su propia aceleración constante , medida por los acelerómetros colocados a bordo de cada nave . La pregunta es, ¿se romperá la cuerda? $gramo$

De acuerdo con la opinión de Dewan y Beran, así como de Bell, en el marco de referencia en el que las naves se encontraban inicialmente en reposo, la distancia entre ellas permanecerá sin cambios, pero la longitud de la cuerda experimentará una contracción relativista, de modo que en algún momento la cuerda se romperá. En la formulación de Bell, esto se representa de la siguiente manera [4] :

Tres pequeños cohetes espaciales, A, B y C, se desplazan libremente en una región del espacio alejada del resto de la materia, sin rotación y sin movimiento relativo, con B y C equidistantes de A (Fig. 1).

Al recibir una señal de A, los motores B y C se encienden y los cohetes comienzan a acelerar suavemente (Fig. 2). Sean los cohetes B y C idénticos y tengan programas de aceleración idénticos. Entonces (según el observador en A) tendrán la misma velocidad en cada momento del tiempo y, por lo tanto, permanecerán desplazados entre sí la misma distancia.

Suponga que desde el principio B y C están conectados con un hilo delgado (Fig. 3). Y si al principio el hilo es lo suficientemente largo para cubrir la distancia requerida, entonces, a medida que los cohetes aceleran, se acortará, ya que sufre la contracción de Fitzgerald, y eventualmente se romperá. Debe romperse cuando, a una velocidad suficientemente alta, la prevención artificial de la compresión natural conduce a una tensión inaceptable.

¿Es verdad? Este viejo problema fue una vez el tema de discusión en el comedor del CERN. Un físico experimental respetado se negó a aceptar que el hilo se rompería y descartó mi creencia de lo contrario como mi propio malentendido de la relatividad especial. Decidimos solicitar arbitraje al Departamento de Teoría del CERN e hicimos una encuesta de opinión (no muy sistemática) sobre este asunto. ¡Hubo un claro consenso de que el hilo no se rompería! Por supuesto, muchos de los que dan esta respuesta incorrecta al principio, después de pensarlo un poco, llegan a la respuesta correcta. Por lo general, se sienten obligados a ver cómo le parece todo a un observador B o C. Encuentran que B, por ejemplo, ve a C cada vez más atrás, de modo que un trozo de hilo dado ya no puede cubrir la distancia entre ellos. Solo después de hacer esto, y tal vez con una sensación residual de inquietud, estas personas finalmente llegan a una conclusión que es bastante trivial desde el punto de vista de A, dada la contracción de Fitzgerald. Mi impresión es que aquellos con una educación más clásica, que conocen algo del razonamiento de Larmor, Lorentz y Poincaré, y Einstein, tienen una intuición más fuerte y confiable.

Contra esta solución del problema surgieron objeciones que, a su vez, fueron objeto de críticas. Por ejemplo, Paul Nawrocki sugirió que la cuerda no debería romperse [ 5] , mientras que Edmond Dewan defendió su punto de vista original en un artículo de respuesta [ 6] . Bell escribió que se encontró con el escepticismo contenido de "un conocido experimentador" en respuesta a su exposición de la paradoja. Para resolver la disputa, se llevó a cabo una reunión informal del Departamento Teórico del CERN . Bell afirma que el "claro consenso" del departamento fue que la cuerda no debe romperse. Bell agrega además: "Por supuesto, muchas personas que obtuvieron la respuesta incorrecta al principio llegaron a la respuesta correcta mediante un razonamiento posterior" [1] . Más tarde, en 2004 , Matsuda y Kinoshita [7] escribieron que un artículo que publicaron en una revista japonesa que contenía una versión redescubierta de forma independiente de la paradoja fue muy criticado. Los autores, sin embargo, no citan obras críticas, afirmando únicamente que fueron escritas en japonés.

Análisis basado en la ecuación de movimiento no relativista

En un análisis posterior, consideraremos las naves espaciales como cuerpos puntuales y consideraremos solo la longitud de la cuerda. El análisis se refiere al caso en que los barcos apagan sus motores después de un cierto período de tiempo . Se utilizarán coordenadas galileanas en todos los marcos de referencia inerciales . $T$

De acuerdo con la presentación de Dewan y Beran, así como de Bell, en el marco de referencia de los "lugares de lanzamiento" (respecto a los cuales los barcos descansaban antes del arranque de los motores y que llamaremos CO ), la distancia entre los barcos debe permanecer constante " por definición ". $S$ $L$ $A$ $B$

Esto se puede ilustrar de la siguiente manera. El desplazamiento de los barcos con respecto a sus posiciones iniciales (a lo largo del eje CO ) en función del tiempo se puede escribir como . Esta función, en términos generales, depende de la función de empuje de los motores, pero es importante que sea la misma para ambas naves espaciales. Por tanto, la posición de cada barco en función del tiempo será: $X$ $S$ $pie)$

x_{A}=a_{0}+f(t),\quad x_{B}=b_{0}+f(t),

dónde

pie)

for es igual a 0 y es continua para todos los valores de ;

t<0

t

x_{A}

- posición ( -coordenada) del barco ;

X

A

x_B

- posición ( -coordenada) del barco ;

X

B

un_{0}

es la posición del barco en ;

A

t=0

b_{0}

es la posición del barco en .

B

t=0

De este, que es un valor constante que no depende del tiempo. Este argumento es válido para todos los tipos de movimiento síncrono. $x_{A}-x_{B}=a_{0}-b_{0}$

Por lo tanto, el conocimiento de la vista detallada no es necesario para un análisis posterior. Tenga en cuenta, sin embargo, que la forma de aceleración propia constante es bien conocida (ver movimiento hiperbólico ). $pie)$ $pie)$

Mirando el diagrama espacio-tiempo (a la derecha), se puede ver que las naves espaciales dejarán de acelerar en eventos y , que son simultáneos en CO . También es obvio que estos eventos no son simultáneos en el CO que acompaña a los barcos. Este es un ejemplo de la relatividad de la simultaneidad . $A'$ $B'$ $S$

De lo anterior se desprende que la longitud de la línea es igual a la longitud , que a su vez coincide con la distancia inicial entre los barcos. También es obvio que las velocidades de los barcos y en el CO después del final de la fase de movimiento acelerado son iguales a . Finalmente, la distancia adecuada entre las naves espaciales después del final de la fase de movimiento acelerado será igual a la distancia en el IFR acompañante e igual a la longitud de la línea . Esta línea es una línea de coordenadas de tiempo constante del marco de referencia adjunto, que está conectado con coordenadas en CO por transformaciones de Lorentz : $A'B'$ $AB$ $L$ $A$ $B$ $S$ $v$ $A$ $B$ $A'B''$ $t'$ $S$

t'={\frac {\left(t-vx/c^{2}\right)}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.

$A'B''$ representa una línea tomada simultáneamente con respecto a la SS de las naves espaciales, es decir, para ellas, puramente espacial. Dado que el intervalo es invariable bajo las transformaciones de CO, se puede calcular en cualquier marco de referencia conveniente, en este caso en . $S$

Matemáticamente, mediante coordenadas en CO, las consideraciones anteriores se escriben de la siguiente manera: $S$

t_{{B'}}=t_{{A'}}\,,

x_{B}-x_{A}=x_{{B'}}-x_{{A'}}=L\,,

x_{{B''}}-x_{{B'}}=v\izquierda(t_{{B''}}-t_{{B'}}\derecha),

t_{{B''}}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{{B''}}=t_{{A'}}-{\frac {v}{c^{ 2}}}x_{{A'}}\,,

\overline {A'B''}={\sqrt {\left(x_{{B''}}-x_{{A'}}\right)^{2}-c^{2}\left(t_ {{B''}}-t_{{A'}}\right)^{2}}}\,.

Introduciendo variables auxiliares

H=t_{{B''}}-t_{{B'}}=t_{{B''}}-t_{{A'}}\,,

W=x_{{B''}}-x_{{B'}}\,,

y notando que

W+L=x_{{B''}}-x_{{B'}}+x_{{B'}}-x_{{A'}}=x_{{B''}}-x_{{A '}}\,,

puedes reescribir la ecuación como

W=vH\qquad H={\frac {v}{c^{2}}}\left(W+L\right)\qquad \overline {A'B''}={\sqrt {\left(W +I\derecha)^{2}-c^{2}H^{2}}}

y resolverlo:

\overline {A'B''}={\frac {L}{{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

En consecuencia, al describir en el marco de referencia comóvil, la distancia entre los barcos aumenta por un factor. Como la cuerda no se puede estirar así, se romperá. $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}$

Basándose en estos resultados, Bell llegó a la conclusión de que era necesario revisar la teoría de la relatividad. Señaló que la contracción relativista de los cuerpos, así como la ausencia de contracción en las distancias entre las naves espaciales en el experimento mental que se está considerando, pueden explicarse dinámicamente usando las ecuaciones de Maxwell. La distorsión de los campos electromagnéticos intermoleculares provoca la contracción de los cuerpos en movimiento, o tensiones en ellos, si se evita su contracción. Pero estas fuerzas no actúan entre barcos.

Solución relativista del problema

El problema relativista del movimiento de cuerpos con iguales aceleraciones atrajo la atención de los investigadores mucho antes de que apareciera la paradoja de Bell. En 1907, Einstein [8] , iniciando la teoría relativista de la gravedad, demostró que el tiempo fluye de manera diferente en los sistemas acelerados. Así, Einstein, a través del principio de equivalencia, predijo el corrimiento al rojo gravitacional . En particular, en un "marco uniformemente acelerado" o, lo que es lo mismo, en un marco de referencia uniformemente acelerado, la velocidad del tiempo depende de la distancia : ${\estilo de texto \delta =x_{B}-x_{A}}$

τ = mi gramo d C 2 , {\displaystyle \tau =e^{g\delta \over c^{2)),}

\tau =e^{g\delta \over c^{2)),

donde g es la aceleración de los puntos.

Ecuación relativista del movimiento de un cuerpo [9] de masa m bajo la influencia de una fuerza ${\ estilo de texto F_ {x}}$

metro C 2 d 2 X d s 2 = F X , {\displaystyle mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},}

mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},

y el intervalo es proporcional al tiempo propio. La hora adecuada (lecturas del reloj estándar a bordo del cohete) está determinada por el movimiento del cohete y no se puede cambiar de ninguna manera. Por ejemplo, sincronizar con un reloj "estacionario".

{\ estilo de texto s = c \ tau}

En coordenadas curvilíneas se utilizan métodos de la teoría general de la relatividad. Para describir su propio marco de referencia no inercial, es necesario aplicar la diferenciación covariante

metro C 2 D tu X d s = F X , {\displaystyle mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},}

mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},

Además, el movimiento en el campo gravitatorio se describe mediante la ecuación (ecuación geodésica) [9] .

{\textstyle Du^{x}=0}

Si necesitamos conocer la aceleración de un punto en el espacio tridimensional, entonces la expresión correspondiente en términos generales parece bastante complicada [10] . Sin embargo, en su propio marco de referencia (la velocidad de los puntos es cero), la aceleración se expresa simplemente:

d 2 X i d t 2 = C 2 Γ 00 i . {\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.}

{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.

Por lo tanto, los cálculos de Bell y cálculos similares no se aplican a la física relativista de sistemas acelerados. La respuesta exacta se puede obtener utilizando los métodos de la teoría general de la relatividad. Sin embargo, el problema de Bell también puede resolverse directamente a partir de los principios de la teoría de la relatividad.

Estrictamente, basado en la constancia de la velocidad de la luz, el problema del movimiento relativista de cuerpos con la misma aceleración fue resuelto por Harry Lass en 1963 [11] . Lass resolvió el problema unidimensional de un sistema uniformemente acelerado utilizando el principio de la constancia de la velocidad de la luz. Lass consideró un marco de referencia acelerando a lo largo de un eje relativo a un sistema de coordenadas inercial . Además, postulando que , y (la velocidad coordinada de la luz es un invariante), obtuvimos la transformación $O'XYZ$ $X$ $Oxyz$ $dX/dT=\pm c$ $dx/dt=\pm c$

X = C 2 gramo [ mi gramo X / C 2 dinero ⁡ gramo T C − una ] {\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right] }

x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right]

y t = C gramo mi gramo X / C 2 pecado ⁡ gramo T C . {\displaystyle t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.}

t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.

La solución de Lass corresponde a la solución de Einstein para relojes en un sistema acelerado uniforme, y su aceleración es, de hecho, constante .

{\estilo de texto \Gamma _{00}^{i}=g/c^{2}}

Si en el problema de Bell los cohetes se detienen, es decir, se toman , entonces la distancia entre ellos siempre será fija: ${\ estilo de texto T = 0}$

L | T = 0 = C 2 gramo ( mi gramo X B / C 2 − mi gramo X A / C 2 ) . {\displaystyle L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\derecho).}

L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\derecho).

De esta ecuación resulta que la distancia entre los cohetes en el marco inercial se reduce de acuerdo con la ley de Lorentz: X B − X A = una − v 2 / C 2 L . {\displaystyle x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.}

x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.

La paradoja ha sido resuelta. Cohetes igualmente acelerados mantienen la distancia en su propio marco de referencia. Además, el observador "fijo" ve la contracción habitual de Lorentz.

Véase también

Notas

↑ 1 2 Bell, JS Decible e indecible en mecánica cuántica (indefinido) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1987. Libro destacado que contiene una reimpresión del artículo original de Bell de 1976 .
↑ Dewan, E.; Beran, M. Nota sobre los efectos del estrés debido a la contracción relativista // American Journal of Physics : revista. - Asociación Americana de Profesores de Física , 1959. - 20 de marzo ( vol. 27 , no. 7 ). - pág. 517-518 . -doi : 10.1119/ 1.1996214 . (enlace no disponible)
↑ Skobeltsyn D.V. La paradoja de los gemelos en la teoría de la relatividad. — M.: Nauka, 1966. — S. 72.
↑ Campana, John. Cómo enseñar relatividad especial (neopr.) .
↑ Nawrocki, Paul J. Efectos del estrés debido a la contracción relativista // American Journal of Physics : revista. - 1962. - Octubre ( vol. 30 , no. 10 ). - Pág. 771-772 . -doi : 10.1119/ 1.1941785 . (enlace no disponible)
↑ Dewan, Edmond M. Efectos del estrés debido a la contracción de Lorentz // American Journal of Physics : revista. - 1963. - Mayo ( vol. 31 , n. 5 ). - P. 383-386 . -doi : 10.1119/ 1.1969514 . (enlace no disponible)
↑ Matsuda, Takuya; y Kinoshita, Atsuya. Una paradoja de dos naves espaciales en la relatividad especial (neopr.) // Boletín AAPPS. - 2004. - T. febrero . — S.? . versión impresa
↑ Einstein, A. Sobre el principio de relatividad y sus consecuencias. traducción al ruso, véase A. Einstein. Colección de artículos científicos, volumen 1. - M., editorial Nauka, 1965.
↑ 1 2 Landau LD, Lifshitz EM La teoría clásica de campos vol. 2 (4ª ed.). Butterworth-Heinemann (1975).
↑ Sazhin M V Teoría general de la relatividad para astrónomos. URL: http://www.astronet.ru/db/msg/1170927 Copia de archivo fechada el 20 de julio de 2018 en Wayback Machine , página 8.2.1.
↑ Lass, H. Marcos de referencia acelerados y la paradoja del reloj , American Journal of Physics, vol. 31, págs. 274-276, 1963.

Enlaces

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Gershtein S. S., Logunov A. A. J. Problema de Bell // Física de partículas elementales y núcleo atómico . - 1998. - T. 29 , núm. 5 . - S. 463-468 .
Michael Weiss, Bell's Spaceship Paradox (1995 ) , Preguntas frecuentes sobre la relatividad de USENET
Austin Gleeson, Notas del curso Capítulo 13 Consulte la Sección 4.3
JH Field, [1] (enlace no disponible )
Romain, JE Un enfoque geométrico de las paradojas relativistas //

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Hsu, Jong-Ping; y Suzuki. Transformaciones de Lorentz extendidas para fotogramas acelerados y la solución de la "paradoja de las dos naves espaciales" // Boletín AAPPS: revista. - 2005. - vol. octubre _ — P.? . versión impresa. (enlace no disponible )

Redžić DV (2010) "Continuidad de la agonía de longitud relativista" (inglés)

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