Paradoja de skolem

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La paradoja de Skolem es un razonamiento controvertido descrito por primera vez por el matemático noruego Turalf Skolem , asociado con el uso del teorema de Löwenheim-Skolem para la teoría axiomática de conjuntos .

A diferencia de la paradoja de Russell , la paradoja de Cantor , la paradoja de Burali-Forti , donde, con la ayuda de conclusiones lógicamente correctas, se revela una contradicción "disfrazada" en las premisas iniciales, la "contradicción" de la paradoja de Skolem surge de un error en El razonamiento y la consideración cuidadosa del tema muestran que esto es solo una paradoja imaginaria . Sin embargo, la consideración de la paradoja de Skolem es de gran valor didáctico.

Redacción

Si el sistema de axiomas de cualquier teoría axiomática de conjuntos es consistente, entonces, en virtud de los teoremas de Gödel y Löwenheim-Skolem, tiene un modelo y, además, este modelo puede construirse sobre números naturales . Es decir, solo se requiere un conjunto numerable de objetos (cada uno de los cuales corresponderá a un conjunto único ) para elegir un valor predicado para cada par de objetos que satisfaga completamente los axiomas de esta teoría (por ejemplo, o , asumiendo su consistencia , ver Axiomática de la teoría de conjuntos ). En tal situación, para cada objeto del modelo, solo se puede incluir en la relación un número finito o contable de objetos (simplemente no hay más en el área temática) . Arreglamos dicho modelo con un contable como el área temática. $METRO$ ${\ estilo de visualización x \ en y}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {ZF}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {ZFC}}$ $y$ ${\ estilo de visualización \ ldots \ en y}$ ${\mathfrak{M}}$ $METRO$

En virtud de los teoremas , independientemente del modelo aceptado en él, es deducible , por ejemplo, la existencia de un término cuya cardinalidad es incontable. Pero en un modelo contable, cualquier conjunto está obligado a no ser más que contable, ¿una contradicción? ${\ estilo de visualización \ mathrm {ZF}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {ZF}}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$

Resolución

Discutamos con cuidado. El hecho significa que existe tal objeto que la fórmula de primer orden correspondiente a la expresión es verdadera en el modelo de evaluación, en el que la variable individual está asociada con el objeto . El teorema de Cantor establece que es incontable, lo que por definición significa $\mathrm {ZF} \vdash \existe x(x={\mathcal {P}}(\omega ))$ ${\ estilo de visualización c \ en M}$ $x={\mathcal {P}}(\omega )$ ${\mathfrak{M}}$ $X$ $C$ $X$

\mathrm {ZF} \vdash \neg \existe f(f

— biyección entre y — biyección entre y

{\mathcal {P}}(\omega )

\omega )\land \existe f(f

\omega

\omega \cup {\omega}),

donde " es una biyección entre y " significa , donde es cualquier codificación de pares ordenados , por ejemplo, . $F$ $A$ $B$ $\forall x\forall y(\langle x,\;y\rangle \in f\Leftrightarrow (x\in A\land y\in B))$ $\langle x,\;y\rangle$ ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\{x,\;y,\;\{x\}\))$

Pero esto solo significa que entre los elementos $METRO$ no hay tal que en el modelo satisfaga las propiedades de la biyección entre y . Al mismo tiempo, no es importante que la relación de pertenencia con un objeto from correspondiente a un término no pueda incluir más que un número contable de objetos from - lo importante es que entre los objetos no existe que implemente la biyección necesaria . $F$ ${\mathfrak{M}}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $\omega$ $METRO$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $METRO$ $METRO$ $F$

El argumento “si el modelo es contable, entonces no más de un número contable de objetos puede entrar en relación con cualquier objeto” es un argumento externo a la teoría axiomática en estudio y no corresponde a ninguna fórmula de esta teoría. Desde un punto de vista externo a la teoría, "el conjunto de todos los conjuntos " (la segunda vez que la palabra "conjunto" aquí significa solo algún objeto del área temática ) puede existir e incluso ser contable, lo cual no está conectado de ninguna manera (y por lo tanto no puede contradecir) con las fórmulas deducidas. $\en$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {ZF}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {ZF}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {ZF}}$

Literatura

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Lógica matemática. — M.: URSS, 2005. — 240 p.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Fundamentos de la teoría de conjuntos. — M.: Mir, 1966. — 556 p.