En matemáticas , un politopo de permutación de orden n es un politopo convexo de ( n − 1) dimensiones incrustado en un espacio euclidiano de n dimensiones que es la cubierta convexa de todos los n . puntos obtenidos permutando las coordenadas del vector (1, 2, 3, ..., n ).
Según Ziegler, Günther [1] , el poliedro de permutación aparece por primera vez en las obras de Schute en 1911. El término "poliedro de permutación" en sí mismo (más precisamente, su versión francesa "permutoèdre") apareció por primera vez en un artículo de Guibud (G.-T.Guibaud) y Rosenstahl, Pierre en 1963. Al sugerirlo, los autores escribieron que "permutoèdre" parece bárbaro pero es fácil de recordar, y que dejan el uso del término al lector.
Un concepto estrechamente relacionado es el poliedro de Birkhoff , definido como el casco convexo de las matrices de permutación . En una situación más general, Bowman (V.-J.Bowman) en 1972 usó el término "politopo de permutación" ("permutation polytope") para cualquier politopo cuyos vértices están en correspondencia biunívoca con permutaciones de algún conjunto.
Un politopo de permutación de orden n está completamente contenido en el hiperplano dimensional ( n − 1) que consta de todos los puntos cuya suma de coordenadas es
1 + 2 + ... + norte = norte ( norte + 1)/2.Además, este hiperplano se puede teselar con un número infinito de copias paralelas del poliedro de permutación. Cada una de estas copias se diferencia del poliedro de permutación original por un elemento de una red ( n − 1) dimensional formada por vectores n dimensionales , cuyas coordenadas son números enteros, su suma es igual a cero y todas las coordenadas pertenecen al misma clase de residuos módulo n :
x 1 + x 2 + ... + x norte \ u003d 0, x 1 ≡ x 2 ≡ ... ≡ x norte (mod n ).Por ejemplo, el poliedro de permutación de orden 4 que se muestra en la figura tesela el espacio tridimensional por medio de traslaciones paralelas. Aquí el espacio tridimensional se considera como un subespacio afín del espacio tetradimensional R 4 con coordenadas x , y , z , w , el cual está formado por cuatro números reales cuya suma es 10, es decir
x + y + z + w = 10.Es fácil comprobar que para cada uno de los siguientes cuatro vectores
(1,1,1,−3), (1,1,−3,1), (1,−3,1,1) y (−3,1,1,1),la suma de las coordenadas es cero y todas las coordenadas son congruentes a 1 módulo 4. Cualquiera de estos tres vectores genera una red de traslaciones paralelas.
Los mosaicos construidos de esta manera a partir de poliedros de permutación de orden 3 y 4 son mosaicos hexagonales regulares y mosaicos octaédricos truncados , respectivamente.
| orden 2 | orden 3 | orden 4 |
|---|---|---|
| 2 picos | 6 picos | 24 picos |
| Un poliedro de permutación de orden 2 es un segmento en la diagonal del cuadrado unitario . | Un poliedro de permutación de orden 3 es un hexágono regular , que es una sección de un cubo de 2×2×2 . | Un poliedro de permutación de orden 4 es un octaedro truncado . |
| orden 5 | orden 6 |
|---|---|
| 120 picos | 720 picos |
| Poliedro de permutación de orden 5. | Poliedro de permutación de orden 6. |