Semigrupo

Un semigrupo en álgebra general es un conjunto con una operación binaria asociativa definida en él . Existe controversia sobre si el requisito de no vacío debe incluirse en la definición de un semigrupo; algunos autores incluso insisten en la necesidad de un elemento neutro (“uno”). Sin embargo, el enfoque más común es que un semigrupo no es necesariamente no vacío y no contiene necesariamente un elemento neutral. Un semigrupo con un elemento neutro se llama monoide ; cualquier semigrupo que no contenga un elemento neutral se puede convertir en un monoide al agregarle algún elemento y definir el monoide resultante, generalmente denotado como . ${\ estilo de visualización (S, \ cdot)}$ $S$ $e\no\en S$ $es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};$ $S^{1}$

Ejemplos de semigrupos: números naturales con la operación de suma , el conjunto de todas las correspondencias de un conjunto en sí mismo con la operación de composición , el conjunto de todas las palabras sobre algún alfabeto con la operación de concatenación . Cualquier grupo es también un semigrupo; Un ideal de un anillo es siempre un semigrupo bajo la operación de multiplicación.

Definición

Un semigrupo es un conjunto (no vacío) , en el que para cualquier par de elementos tomados en un cierto orden se define un nuevo elemento, llamado su producto , y para cualquier siempre [1] . ${\mathfrak {U}}$ $X,Y\en {\mathfrak {U}}$ $U=XY\in {\mathfrak {U}}$ $X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}$ ${\ estilo de visualización (XY) Z = X (YZ)}$

Tipos de semigrupos

Un semigrupo se llama conmutativo (o abeliano ) si siempre se cumple para cualquier . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ ${\ estilo de visualización AB = BA}$

Las clases importantes forman semigrupos con reducción [2] :

con contracción izquierda si alguna de siempre implica ; $X,A,B\in {\mathfrak {U}}$ ${\ estilo de visualización XA = XB}$ $A=B$
con contracción justa si alguna de las implica siempre ; $Y,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AY=POR$ $A=B$
con cancelación bilateral , si es un semigrupo con cancelación tanto a la izquierda como a la derecha al mismo tiempo.

Un elemento de un semigrupo se llama regular si hay un elemento en tal que . Un semigrupo cuyos elementos son todos regulares se llama semigrupo regular . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X$ $AXA=A$

Se dice que un elemento de un semigrupo es completamente regular si hay un elemento en tal que y . Un semigrupo completamente regular es un semigrupo cuyos elementos son completamente regulares [3] . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak{U}}$ $X$ $AXA=A$ $AX=XA$

Un semigrupo en el que para cualquiera de siempre existen tales que y , es un grupo . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X,Y$ ${\ estilo de visualización XA = B}$ $AY=B$

Estructura de semigrupos

Si , entonces es costumbre denotar . $A,B\subconjunto S$ $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$

Un subconjunto de un semigrupo se llama subsemigrupo si él mismo es un semigrupo con respecto a la restricción de la operación a un subconjunto. Para esto, es suficiente que para cualquiera de los dos elementos de su producto también pertenezca a . $A$ $S$ $A$ $A$

Si el subconjunto no es vacío y (respectivamente, ) se encuentra en , entonces se llama el ideal derecho (respectivamente, izquierdo) de . Si es tanto un ideal izquierdo como uno derecho, entonces se llama un ideal de dos lados, o simplemente un ideal. $A$ ${\ estilo de visualización como}$ ${\ estilo de visualización SA}$ $A$ $A$ $A$

La intersección y unión de cualquier familia de subsemigrupos es también un subsemigrupo; se sigue que los subsemigrupos forman un enrejado completo . Un ejemplo de semigrupo en el que no existe un mínimo ideal son los números enteros positivos con la operación de suma. Si existe un mínimo ideal y el semigrupo es conmutativo, entonces es un grupo.

Debido a la asociatividad, se puede definir correctamente el grado natural de un elemento de un semigrupo como:

a^{n}={\overset {n}{\overbrace {a\cdot a\cdot \dots \cdot a)) }}

Para el grado de un elemento, la relación es verdadera . $a^{{m+n}}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{{nm}},\para todos los n,m\in {\matemáticas N}$

Un caso especial de semigrupos son los semigrupos con división , en los que para cada dos elementos se definen los cocientes derecho e izquierdo . $a$ $b$ $(a/b)$ $(licenciado en Letras)$

Un semigrupo finito siempre tiene un idempotente (un elemento para el cual ). $aa=a$

Un homomorfismo de semigrupo es una aplicación que conserva la estructura de un semigrupo. Es decir, una aplicación de un semigrupo a un semigrupo se llama homomorfismo si . Dos semigrupos y se dice que son isomorfos si existe un homomorfismo biyectivo . $F$ $R$ $S$ $\para todo a,b\en S\ f(ab)=f(a)f(b)$ $S$ $T$ $f\dos puntos S\to T$

Relaciones de Green

En 1951, James Green introdujo cinco relaciones de equivalencia fundamentales en un semigrupo. Resultaron ser esenciales para entender el semigrupo tanto a nivel local como global. Las relaciones de Green en un semigrupo se definen mediante las siguientes fórmulas: $S$

aRb\Flecha izquierda-derecha aS^{1}=bS^{1}

aLb\Flecha izquierda-derecha S^{1}a=S^{1}b

aJb\Flecha izquierda-derecha S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}

H=L\cap R

D=R\vee L

Se sigue directamente de la definición que es una congruencia derecha y es una congruencia izquierda. También se sabe que . Una de las declaraciones más fundamentales en la teoría de los semigrupos es el lema de Green, que establece que si los elementos y son R-equivalentes, , tal que y son los correspondientes desplazamientos a la derecha, entonces son biyecciones mutuamente inversas y viceversa, respectivamente. También conservan las clases H. $R$ $L$ $D=R\circ L=L\circ R$ $a$ $b$ $tu$ $v$ $au=b$ $bv=a$ $p_{u},p_{v}$ $p_{u},p_{v}$ $La}$ $L_{b}$

Notas

↑ Lyapin, 1960 , pág. 28
↑ Lyapin, 1960 , pág. 29
↑ Lyapin, 1960 , pág. 104.

Literatura

Shevrin L. N. . Capítulo IV. Semigrupos // Álgebra General / Bajo lo general. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. — 480 s. — (Biblioteca matemática de referencia). — 25.000 copias. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Lyapin E. S. Semigrupos. - M. : Fizmatlit, 1960. - 592 p.