Orden de grupo

El orden del grupo es la cardinalidad del portador del grupo , es decir, para grupos finitos , el número de elementos del grupo. Denotado o . $|G|$ $\mathbf {Orden(G)}$

Para grupos finitos, la conexión entre el orden de un grupo y su subgrupo se establece por el teorema de Lagrange : el orden de un grupo es igual al orden de cualquiera de sus subgrupos , multiplicado por su índice - el número de su izquierda o derecha clases laterales: $GRAMO$ $H\subconjunto G$

|G|=|H|\cdot [G:H]

Un resultado importante sobre los órdenes de grupo es la ecuación de clase que relaciona el orden de un grupo finito con el orden de su centro y los tamaños de sus clases conjugadas no triviales : $GRAMO$ $\mathrm {Z} (G)$

|G|=|Z(G)|+\sum_{i}d_{i}

donde son los tamaños de las clases de conjugación no triviales. Por ejemplo, el centro de un grupo simétrico es solo un grupo trivial de un elemento neutral y la ecuación se convierte en . $d_{i}$ $S_{3}$ $mi$ $|S_{3}|=1+2+3$

El orden de los elementos de grupos finitos divide su orden de grupo. Del teorema de la teoría de grupos de Cauchy se deduce que el orden de un grupo es una potencia de un número primo si y sólo si el orden de cualquiera de sus elementos es una cierta potencia [1] . $GRAMO$ $pags$ $pags$

Notas

↑ Keith Conrado. Consecuencias del Teorema de Cauchy.

Literatura

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Capitulo dos. Grupos // Álgebra General / Bajo el general. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 pág. — (Biblioteca matemática de referencia). — 30.000 copias. — ISBN 5-02-014426-6 .