Transformación de Stieltjes

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La transformada de Stieltjes es una transformada integral , que para una función tiene la forma: $f(x)$

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,

donde la integración se realiza a lo largo del semieje real, y los cambios en el plano complejo , con un corte a lo largo del semieje real negativo. $\tau$

Esta transformación es una transformación de convolución , se produce al iterar la transformada de Laplace . La transformada de Stieltjes también está relacionada con el problema de momentos para un lapso semi-infinito y, como consecuencia, con algunas fracciones continuas .

Si es continua y restringida a , entonces la fórmula de inversión es válida: $f(x)x^{\frac{1}{2))$ $(0,\infty)$

f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}} \right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}} }F(x)\right),\quad x>0.

Por primera vez esta transformación fue considerada por T. I. Stiltjes .

Iteración de la transformada de Laplace

Denotamos la transformada directa de Laplace de la función (variable ) en función de la nueva variable como $f(x)$ $X$ $s$

{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\ ,dx.

Entonces la transformada de Laplace repetida (iterada)

{\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0} }^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx

es la transformada de Stieltjes (después de asumir la integral ) . $s$

Por lo tanto, muchas propiedades de la transformada de Stieltjes se pueden obtener directamente de las propiedades de la transformada de Laplace .

Propiedades y teoremas básicos

Denote la transformada de Stieltjes de la función como $f(x)$

{\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau ).

La transformación inversa correspondiente se denotará como:

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau )\right\}=f(x).

Multiplicar original por variable

En suma, la imagen del original multiplicada por la variable y el producto de la variable y la imagen son iguales a una constante igual a la integral a lo largo del semieje real positivo del original:

{\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty}f(x)dx-\tau F(\tau )

Diferencia derivada de imágenes

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{ \frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\operatorname {arg} (\alpha )|<\pi

Diferencia derivada de los originales

{\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2} }\left(F(ae^{i\pi })+F(ae^{i\pi })\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau}{a))\ derecha)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0

Estiramiento de argumento

Al escalar la variable original por un factor, la variable de la imagen también se escala por un factor: $a$ $a$

{\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau ),\quad a>0

diferenciando el original

La suma de la imagen de la derivada y la derivada de la imagen es igual a una constante dividida por la variable imagen, y esta constante es igual al valor de la original en cero, tomada con signo opuesto:

{\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )

Generalizaciones

Transformada de Stieltjes generalizada

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.

Transformada de Stieltjes integrada

F(\tau)=\int _{+0}^{\infty}K(\tau,x)f(x)dx,

dónde

K(\tau,x)=\left\{{\begin{matriz}{\frac {\ln {\frac {\tau }{x))}{\tau -x)),&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{matriz}}\right.

Literatura

Enciclopedia Matemática Ed. collegium: I. M. Vinogradov (jefe de redacción) [y otros] M., "Soviet Encyclopedia", 1977-1985.
Bateman G., Erdeyi A. Tablas de transformaciones integrales. Volumen 2: Transformadas de Bessel, integrales de funciones especiales . — M, Ciencia, 1970

Transformaciones integrales
transformada abel Transformaciones de Bessel Transformación bosquimana Transformación de Gegenbauer Transformada de Hilbert Transformación de Kontorovich-Lebedev Transformada de Laplace Transformada de Meyer Transformación de Mehler-Fock Transformada de Mellin Transformada de Nerain Transformación de radón Transformación de Stieltjes Transformada de Fourier Transformada de Hankel Transformada de Hartley