Transformada de Hankel

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En matemáticas , la transformada de Hankel del orden de una función viene dada por la fórmula $\nu$ $f(r)$

F_{\nu }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)r\,dr,

donde es la función de Bessel de primer orden y . La transformada inversa de Hankel de una función es la expresión ${\ Displaystyle J_ {\ nu}}$ ${\ estilo de visualización \ nu,}$ ${\ estilo de visualización \ nu \ geqslant -1/2}$ ${\ Displaystyle F_ {\ nu} (k)}$

f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\,dk,

que se puede verificar usando la ortogonalidad descrita a continuación.

La transformada de Hankel es una transformada integral . Fue inventado por Hermann Hankel y también se conoce como la transformada de Bessel-Fourier.

Alcance

La transformada de Hankel de una función es verdadera para cualquier punto en el intervalo en el que la función es continua o continua por tramos con saltos finitos, y la integral $f(r)$ $(0,\infty)$ $f(r)$

\int \limits _{0}^{\infty}|f(r)|\,r^{1/2}\,dr

finito.

También es posible extender esta definición (similar a la transformada de Fourier ) para incluir algunas funciones cuya integral es infinita (por ejemplo, ). ${\ estilo de visualización f (r) = r}$

Ortogonalidad

Las funciones de Bessel forman una base ortogonal con peso : $r$

\int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\,dr={\frac {\delta (kk')} {k}}

para _ $k,k'>0$

Transformada de Hankel de algunas funciones

$f(r)$	${\ Displaystyle F_ {0} (k)}$
$una$	${\ estilo de visualización \ delta (k) / k}$
$r$	${\ estilo de visualización -1/k^{3}}$
$r^{3}$	${\ estilo de visualización 9/k^{5}}$
${\ estilo de visualización r ^ {m}}$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)))$ para m impar , ${\ estilo de visualización 0}$ incluso para m .
${\displaystyle e^{iar))$	${\displaystyle {\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2)))){(k^{2}-a^{2})^{2))))$
${\displaystyle e^{a^{2}r^{2}/2))$	${\displaystyle {\frac {-e^{k^{2}/2a^{2))}{a^{2))))$

Véase también

Transformada de Fourier

Enlaces

Gaskill, Jack D., "Sistemas lineales, transformadas de Fourier y óptica", John Wiley & Sons, Nueva York, 1978. ISBN 0-471-29288-5 .
Polyanin, A.D. y Manzhirov, A.V., Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 .

Transformaciones integrales
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