Grupo proyectivo

Un grupo proyectivo es un grupo de transformaciones de un espacio proyectivo inducido por transformaciones lineales del espacio vectorial correspondiente. Sus elementos se denominan transformaciones proyectivas : generalizan las transformaciones proyectivas del plano proyectivo . Desde un punto de vista matricial, un grupo proyectivo es el conjunto de todas las matrices no degeneradas hasta las matrices escalares .

Definición

Sea un espacio vectorial sobre un campo (o, más generalmente, sobre un cuerpo ), y sea su grupo lineal completo , es decir, el grupo de todas las transformaciones lineales reversibles. Este grupo conmuta con homotecias espaciales (multiplicaciones por constantes de campo distintas de cero ), y por tanto sus elementos inducen transformaciones del espacio proyectivo (espacio cociente por la acción del grupo ). $V$ $F$ $k$ $GL(V)$ ${\ estilo de visualización Z (V)}$ $V$ $F$ $\mathbb {P} (V)=V/Z(V)$ ${\ estilo de visualización Z (V)}$

Algunas de estas transformaciones inducidas actúan de manera trivial: estos son exactamente los elementos del grupo de homotecia espacial . Un grupo proyectivo es un grupo de factores según el núcleo de una acción: ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} (V)}$ $Z(V)\cong F^{*}$ $V$

{\displaystylePGL(V)=GL(V)/Z(V)}

Si elegimos explícitamente coordenadas en el espacio , es decir, un isomorfismo para el natural , obtenemos $V$ $V\cong F^{n}$ $norte$

PGL_{n}(F)=GL_{n}(F)/F^{*}

es decir, el grupo proyectivo es el grupo cociente del grupo de matrices no degeneradas por el subgrupo de matrices escalares distintas de cero.

Generalizaciones

Si en lugar del grupo lineal completo tomamos el grupo lineal especial , es decir, nos restringimos a transformaciones lineales con determinante 1, entonces obtenemos el grupo lineal especial proyectivo , también llamado grupo proyectivo unimodular . ${\ estilo de visualización \ mathbb {G} L (V)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} L (V)}$ $PSL(V)$

Propiedades

Si es un campo finito de elementos, entonces el orden del grupo es [1] . $F_q$ $q$ $|PSL_{n}(F_{q})|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)( q^{n-1}-1)\cdots (q^{2}-1)$
Para , el grupo es simple excepto para y [1] . $n\geq 2$ ${\ Displaystyle PSL_ {n} (F)}$ $PSL_{2}(F_{2})$ $PSL_{2}(F_{3})$

Notas

↑ 1 2 Vinberg, EB (2001), Grupo proyectivo , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4