Recta numérica extendida proyectivamente

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 18 de octubre de 2021; las comprobaciones requieren 2 ediciones .

Una línea real extendida proyectivamente es un conjunto de números reales , complementado por un punto, llamado infinito ( infinito proyectivo, infinito sin signo, infinito de dos lados , punto en el infinito ). $\matemáticas {R}$

Un punto en el infinito puede entenderse intuitivamente como identificado como infinito positivo y negativo. Esto se puede demostrar claramente representando el conjunto de números reales no en una línea recta, sino en un círculo con un punto perforado. Entonces el infinito corresponderá a este punto tan punzante.

La recta numérica extendida proyectivamente extiende la recta numérica de manera similar a como el plano complejo extendido extiende el plano complejo .

A pesar de que el término recta numérica extendida se suele utilizar en relación con el conjunto de números reales con dos infinitos con signo, en ocasiones también se utiliza para la recta numérica proyectivamente extendida. Por lo tanto, para enfatizar su diferencia, una recta numérica complementada por dos infinitos a veces se denomina recta numérica afínmente extendida .

Varios autores denotan una recta numérica proyectivamente extendida como [1] , [2] , [3] . En este artículo, se utilizará la notación . El infinito proyectivo se denota como , . La primera notación también se usa a veces para denotar más infinito, pero en este artículo se usa solo en relación con proyectivo. ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {\ infinito}}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\infty$ $\pm \infty$

Ordenar

On no existe un orden lineal natural , ya que no existe una forma natural de determinar si el infinito es mayor o menor que algún número. Sin embargo, el orden cíclico no está definido . Se puede representar como la dirección del movimiento en un círculo de 0 a ∞ pasando por 1. Es decir, si se suceden al moverse a lo largo de un círculo en el sentido en que se suceden 0, 1 y ∞. Por lo tanto, a medida que avanzamos en este orden desde 0, pasamos, en orden ascendente, por todos los números positivos, luego por el infinito, luego por todos los negativos y luego por 0 nuevamente. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\ estilo de visualización [a, b, c]}$

Formalmente, este orden está determinado por las siguientes relaciones: [4]

{\ estilo de visualización [a, b, c] \ Leftrightarrow a<b<c}

[\infty,b,c]\Leftrightarrow b<c

[a,\infty,c]\Leftrightarrow a>c

[a,b,\infty]\Leftrightarrow a<b

los casos en los que hay más de un infinito siempre están equivocados

Todo está aquí . $a,b,c\en \mathbb {R}$

El orden cíclico define los intervalos como conjuntos de la forma (los intervalos de la forma se definen por separado ). En notación convencional, esto se puede reescribir de la siguiente manera: [5] ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\{x|[a,x,b]\}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}\barra invertida \{a\}$

Un intervalo en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ es un conjunto de la forma, o para algunos. $(a; b)$ $(a;+\infty)\cup \{\infty\}\cup (-\infty;b)$ $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}$

Un segmento en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ es un conjunto de la forma, o, o, o para algunos. $[a; b]$ $\{\infty\}\cup (-\infty;b]$ ${\displaystyle [a;+\infty )\cup \{\infty \))$ $[a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b]$ $a,b\en \mathbb {R}$

Un medio intervalo en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ es un conjunto de la forma, o, o, o, , o, o, o, opara algunos. $(a;b]$ $[a; b)$ $[a;+\infty)$ $(-\infty;b]$ ${\displaystyle (a;+\infty)\cup \{\infty\))$ ${\displaystyle (-\infty;b)\cup \{\infty\))$ $(a;+\infty)\cup \{\infty\}\cup (-\infty;b]$ $[a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b)$ $a,b\en \mathbb {R}$

A veces se utiliza la notación habitual para tales lagunas , entendida en el sentido anterior. Es decir , , , , . Con tales designaciones (en el lado izquierdo de la igualdad en el sentido definido anteriormente, en el lado derecho en el sentido habitual) , , . La entrada se define como . ${\ estilo de visualización (a, b), [a, b], (a, b]}$ ${\ estilo de visualización (a, b) = \ {x | [a, x, b] \))$ ${\ estilo de visualización [a, b] = (a, b) \ taza \ {a, b \))$ ${\ estilo de visualización (a, b] = (a, b) \ taza \ {b \))$ $[a,b)=(a,b)\taza \{a\}$ $a \ neq b$ ${\ estilo de visualización (0,1) = (0,1)}$ $(1,0)=(1,+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ,0)$ ${\ estilo de visualización (a, a)}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}\barra invertida \{a\}$

Topología

El orden cíclico no determina la topología: un conjunto abierto es un conjunto que se puede representar como una unión de intervalos (los intervalos se entienden en el sentido definido anteriormente). Esta topología no es más que la unión de conjuntos abiertos con vecindades de infinito. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\matemáticas {R}$

La vecindad ε de ∞ es el conjunto. Cualquier vecindad del infinito contiene alguna vecindad ε del infinito. $\left({\frac {1}{\varepsilon));+\infty \right)\cup \{\infty \}\cup \left(-\infty ;-{\frac {1}{\ varepsilon}}\right)$

Una vecindad ε perforada de ∞ es un conjunto. $\left({\frac {1}{\varepsilon));+\infty \right)\cup \left(-\infty ;-{\frac {1}{\varepsilon}}\right)$

Sin la definición de intervalos, la topología podría introducirse de la siguiente manera. Definamos una vecindad perforada del infinito como un conjunto abierto que contiene alguna vecindad ε del infinito. Entonces, una vecindad de infinito es una vecindad perforada de infinito con infinito agregado. Entonces la topología es la unión de la topología con el conjunto de vecindades de infinito. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\matemáticas {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\matemáticas {R}$

La línea real extendida proyectivamente es un espacio de Hausdorff compacto , homeomorfo a un círculo. Es una compactación de un punto de la línea real y es su compactación de Alexandrov .

De la forma habitual, se puede definir un límite cuando el argumento tiende a infinito . Además, el registro adquiere su significado habitual en topología. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\lim _{x\to \infty}f(x)$ $\lim_{\mathfrak {B}}f(x)=\infty$

En hay unos límites que no existen en e incluso en . Por lo tanto, el límite no existe en y en , pero existe en y es igual a . A su vez, si el límite existe en , entonces también existe en . Además, si el límite en es finito, entonces es igual al mismo valor, y si es infinito, entonces es igual a . ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\matemáticas {R}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\ estilo de visualización \ lim _ {x \ a 0} {\ frac {1} {x}}}$ $\matemáticas {R}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\infty$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb{R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\infty$

Operaciones aritméticas

Las operaciones estándar en se extienden a por continuidad. En muchos casos, dicha propagación no es posible, por lo que las operaciones quedan parcialmente definidas. [una] $\matemáticas {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$

a+\infty =\infty +a=\infty ,\quad a\neq \infty

\infty +\infty

- indefinido

a-\infty =\infty -a=\infty ,\quad a\neq \infty

\infty -\infty

- indefinido

a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty,\quad a\neq 0

0\cdot \infty,\infty\cdot 0

- indefinido

{\frac {\infty} {a))=\infty,\quad a\neq \infty

{\frac {a}{\infty}}=0,\quad a\neq \infty

{\frac {\infty} {\infty}}

- indefinido

{\frac {a}{0}}=\infty,\quad a\neq 0

{\frac{0}{0}}

- indefinido

${\widehat {\mathbb {R} }}$ una de las pocas estructuras que permite la división por 0 .

Propiedades algebraicas

Las siguientes igualdades significan: las partes izquierdas son indefinidas o iguales.

{\begin{alineado}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\ cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{alineado}}

Las siguientes igualdades son verdaderas si se define su lado derecho.

{\begin{alineado}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a=\left({\frac {a}{b))\right)\cdot b&=\,\,{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a=(a+b)-b&=\,\,(ab)+b\end{alineado}}

Propiedades proyectivas

Una recta numérica extendida proyectivamente es una recta proyectiva obtenida a partir de una recta afín al sumar un punto en el infinito. Las transformaciones proyectivas de esta línea tienen la forma $\matemáticas {R}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matriz}a&b\\c&d\end{matriz}}\ derecha|\neq 0

Este tipo de transformaciones se denominan transformaciones de Möbius . Sus propiedades son en muchos aspectos similares a las de sus contrapartes complejas: [2]

El conjunto de transformaciones de Möbius con la operación de composición forma un grupo.
Para dos ternas cualesquiera , en cada una de las cuales los puntos son pares diferentes, existe una única transformación de Möbius que se traduce en . $x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}\in {\widehat {\mathbb {R} ))$ $x_{1},x_{2},x_{3}$ ${\ estilo de visualización y_{1},y_{2},y_{3))$
Una función es una transformada de Möbius si y sólo si conserva la relación anarmónica .
Una función es una transformada de Möbius si y solo si puede representarse como una composición de reflexiones e inversiones .

Véase también

Recta numérica afínmente extendida

Notas

↑ 12 Wolframio._ _ _
↑ 12 Lee , 2020 , pág. 75.
↑ Emanuello, Nolder, 2015 , p. 12
↑ nLab .
↑ Tucker, 2011 , pág. 32.

Literatura

Cantrell DW Números reales extendidos proyectivamente . El mundo matemático de Wolfram . Weisstein EW. Fecha de acceso: 18 de abril de 2021.
Nam Hoon Lee. Geometría : de las Isometrías a la Relatividad Especial . - Springer International Publishing, 2020. - 258 p. - (Textos de Grado en Matemáticas). — ISBN 9783030421014 .
Emanuello JA, Nolder CA Compactificación proyectiva de y su geometría de Möbius ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {1,1}}$ (inglés) // Daniel Alpay Análisis complejo y teoría de operadores: Revista. - Orange, CA USA, 2015. - 1 de febrero ( n° 9 ). — págs. 329–354 . — ISSN 1661-8262 . -doi : 10.1007/ s11785-014-0363-5 .
Números reales extendidos (inglés) . nLab .
Warwick Tucker. Valores numéricos validados: una breve introducción a los cálculos rigurosos . — Prensa de la Universidad de Princeton, 2011. — 152 p. — ISBN 9781400838974 .