Fibonacci Prime - Wiferich

Problemas no resueltos en Matemáticas : ¿Existen los números primos de Fibonacci-Wieferich? Si es así, ¿hay un número finito de ellos?

El primo de Fibonacci-Viferich (también primo Wall-Sun-Sun , ing. Wall-Sun-Sun ) es uno de cierto tipo de número primo supuestamente existente , asociado con los números de Fibonacci . A partir de 2013, no se ha encontrado tal número.

Definición

Un primo se llama primo de Fibonacci-Wiferich si divide el número de Fibonacci , donde el símbolo de Legendre se define como: $pag>5$ $p^{2}$ ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)))$ $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$

\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}} \\-1,&{\text{si}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{casos}}

Definición equivalente: un primo se llama primo de Fibonacci-Wieferich si , donde es el -ésimo número de Lucas . [1] :42 $pags$ ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ $L_{p}$ $pags$

Existencia

Existe la hipótesis de que hay infinitos números primos de Fibonacci-Wiferich [2] , sin embargo, a partir de 2013, no se ha descubierto tal número primo.

En 2007, Richard J. McIntosh y Eric L. Roettger demostraron que si existen, deben ser mayores que 2⋅10 14 [3] , en 2010 François Dorais ( François G. Dorais ) y Dominic Klyve llevaron el límite a 9,7⋅ 10 14 [4] . En diciembre de 2011, se inició una búsqueda en el proyecto PrimeGrid [5] , en diciembre de 2012 PrimeGrid alcanzó el límite de 1,5⋅10 16 [6] . En abril de 2014, PrimeGrid alcanzó el límite de 2,8⋅10 16 y continúa buscando [6] .

Historia

Los números primos Wall-Sun-Sun llevan el nombre de Donald Wall [ 7 ] , Sun Zhìhóng y Sūn Zhìwěi , quienes demostraron en 1992 que si el primer caso del último teorema de Fermat es falso para algún número primo , entonces debe ser un número primo de Fibonacci-Wieferich [8 ] . Así, antes de la demostración del último teorema de Fermat por Andrew Wiles , la búsqueda de los números primos de Fibonacci-Wieferich tenía como objetivo encontrar un posible contraejemplo . $pags,$ $pags$

Generalizaciones

Tribonacci -Wieferich prime ( eng. Tribonacci-Wieferich prime ) [9] es un número primo que satisface la condición

h(p)=h(p^{2}),

donde es el entero positivo más pequeño para el cual se cumple la condición ${\ estilo de visualización h (m)}$

\left[T_{h},T_{h+1},T_{h+2}\right]\equiv \left[T_{0},T_{1},T_{2}\right]{ \pmod{m}},

$Tennesse}$ es el número de tribonacci con número n , definido como

T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n},

T_{0}=0,T_{1}=0,T_{2}=1.

Tribonacci simple - Wieferich, menos de 10 11 no existen [9] .

Véase también

Notas

↑ Vladica, A. Sobre los poderes de Fibonacci (indefinido) // Univ. Publicación de Beograd. Electrotécnica. falso Ser. Mat.. - 2006. - T. 17 . - S. 38-44 . -doi : 10.2298 / PETF0617038A .
↑ Klaška, Jiří (2007), Breve comentario sobre los números primos de Fibonacci−Wieferich , Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis T. 15 (1): 21–25 , < http://dml.cz/dmlcz/137492 > Archivado el 18 de julio de 2011 en la Máquina de regreso
↑ McIntosh, RJ; Roettger, EL Una búsqueda de los primos de Fibonacci−Wieferich y Wolstenholme // Matemáticas de la computación : diario. - 2007. - vol. 76 , núm. 260 . - Pág. 2087-2094 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-07-01955-2 .
↑ Dorais, FG; Klyve, DW Near Wieferich primos hasta 6,7 × 10 15 (ing.) : revista. - 2010. Archivado el 6 de agosto de 2011.
↑ Anuncio de PrimeGrid de búsquedas de Wieferich y Wall-Sun-Sun . Archivado el 14 de marzo de 2013 en Wayback Machine .
↑ 1 2 Wall-Sun-Sun Prime Search project Archivado el 26 de septiembre de 2011 en Wayback Machine en PrimeGrid
↑ Wall, D. D. (1960), Fibonacci Series Modulo m , American Mathematical Monthly Vol. 67 (6): 525–532 , DOI 10.2307/2309169
↑ Sun, Zhi-Hong & Sun, Zhi-Wei (1992), Números de Fibonacci y último teorema de Fermat , Acta Arithmetica Vol. 60 (4): 371–388 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki /aa/aa60/aa6046.pdf > Archivado el 30 de septiembre de 2020 en Wayback Machine .
↑ 1 2 Klaška, Jiří. Una búsqueda de primos de Tribonacci-Wieferich (neopr.) // Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis. - 2008. - T. 16 , N º 1 . - S. 15-20 .

Literatura

Crandall, Richard E. & Pomerance, Carl (2001), Números primos: una perspectiva computacional , Springer, p. 29, ISBN 0-387-94777-9

Enlaces

Chris Caldwell, The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime en las Prime Pages .
Weisstein, Eric W. Wall–Sun–Sun prime (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Richard McIntosh, Estado de la búsqueda de números primos Wall-Sun-Sun (octubre de 2003)